题目

已知矩阵 1 0 0 -1-|||-0 1 -1 1-|||-0 0 0 0-1-|||-4= 1 1 -1 0-|||-1 -2 2 -3，则A的行最简形矩阵为（）.A. 1 0 0 -1-|||-0 1 -1 1-|||-0 0 0 0-1-|||-4= 1 1 -1 0-|||-1 -2 2 -3B. 1 0 0 -1-|||-0 1 -1 1-|||-0 0 0 0-1-|||-4= 1 1 -1 0-|||-1 -2 2 -3C. 1 0 0 -1-|||-0 1 -1 1-|||-0 0 0 0-1-|||-4= 1 1 -1 0-|||-1 -2 2 -3D. 1 0 0 -1-|||-0 1 -1 1-|||-0 0 0 0-1-|||-4= 1 1 -1 0-|||-1 -2 2 -3

已知矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 1&1&-1&0\\ 1&-2&2&-3 \end{pmatrix}$ ，则A的行最简形矩阵为（）.

A. $\begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 0&1&-1 &1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix};$

B. $\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix};$

C. $\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix};$

D. $\begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$

题目解答

答案

将矩阵A化为行阶梯型矩阵，即

$A=\begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 1&1&-1&0\\ 1&-2&2&-3 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow[-r_{1}+r_{2} ]{-r_{1}+r_{3}} \begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 0&1&-1&1\\ 0&-2&2&-2 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow[ ]{2r_{2}+r_{3}} \begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$

根据行最简矩阵的定义：

在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简矩阵。

上述矩阵满足行最简矩阵的定义，故符合条件.

综上：选择A.

解析

步骤 1：将矩阵A化为行阶梯型矩阵
首先，我们对矩阵A进行行变换，使其化为行阶梯型矩阵。行阶梯型矩阵的特点是每一行的第一个非零元素（称为主元）的列索引号严格递增，且主元下方的元素均为零。
步骤 2：将行阶梯型矩阵化为行最简形矩阵
在行阶梯型矩阵的基础上，我们进一步将主元上方的元素也变为零，同时将主元化为1，这样得到的矩阵就是行最简形矩阵。
步骤 3：验证行最简形矩阵
根据行最简矩阵的定义，检查得到的矩阵是否满足行最简矩阵的条件：非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零。