求极限underset(lim)(x→0)（((a)^x+(b)^x+(c)^x)/(3)）{}^(1)/(x)（a＞0，b＞0，c＞0）

考查要点：本题主要考查指数函数的极限计算，特别是处理形如$1^\infty$型未定式的极限问题。需要灵活运用重要极限公式和泰勒展开或洛必达法则来简化计算。

解题核心思路：

1. 变形构造重要极限：将原式转化为$(1 + kx)^{1/(kx)}$的形式，利用$\lim_{x \to 0}(1 + kx)^{1/(kx)} = e$。
2. 泰勒展开或洛必达法则：对分子$a^x + b^x + c^x - 3$进行展开，或对对数后的表达式求导，找到指数部分的极限值。

破题关键点：

• 识别未定式类型：原式为$1^\infty$型，需通过变形转化为指数函数与对数的结合形式。
• 正确拆分指数：通过调整分子分母，分离出重要极限的底数和指数部分。

步骤1：构造重要极限形式
将原式改写为：
$\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{a^x + b^x + c^x - 3}{3}\right)^{\frac{3}{a^x + b^x + c^x - 3} \cdot \frac{a^x + b^x + c^x - 3}{3x}}.$
此时底数部分趋近于$1$，指数部分包含$\frac{a^x + b^x + c^x - 3}{3x}$。

步骤2：计算指数部分的极限
对$\frac{a^x + b^x + c^x - 3}{3x}$应用泰勒展开：
$a^x = 1 + x \ln a + o(x), \quad b^x = 1 + x \ln b + o(x), \quad c^x = 1 + x \ln c + o(x).$
相加后得：
$a^x + b^x + c^x - 3 = x (\ln a + \ln b + \ln c) + o(x).$
因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{a^x + b^x + c^x - 3}{3x} = \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}.$

步骤3：结合重要极限结果
底数部分$\left(1 + \frac{a^x + b^x + c^x - 3}{3}\right)^{\frac{3}{a^x + b^x + c^x - 3}}$的极限为$e$，最终结果为：
$e^{\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}} = (abc)^{\frac{1}{3}}.$