15/29 单选题(2.5分) 设A是三阶方阵，|A|=0，则A^*必有特征值（）A. 1B. 0C. 3D. 2

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及其特征值的关系，结合矩阵秩的性质进行推导。

解题核心思路：

1. 伴随矩阵与原矩阵的关系：利用公式 $A \cdot A^{*} = |A|\mathbf{I}$，结合已知条件 $|A|=0$，得出 $A \cdot A^{*} = \mathbf{0}$。
2. 秩的分析：若 $|A|=0$，则 $A$ 不可逆，其秩 $r(A) \leq 2$。根据伴随矩阵的秩性质：
   • 当 $r(A) < n-1$（$n=3$）时，$r(A^{*})=0$，即 $A^{*}$ 为零矩阵，所有特征值均为 $0$；
   • 当 $r(A)=n-1$ 时，$r(A^{*})=1$，此时 $A^{*}$ 有一个非零特征值，其余为 $0$。
3. 必然性结论：无论 $A$ 的具体秩如何，$A^{*}$ 的特征值中至少存在一个 $0$。

关键推导步骤

1. 公式推导：
   由伴随矩阵的定义，$A \cdot A^{*} = |A|\mathbf{I}$。
   代入 $|A|=0$，得 $A \cdot A^{*} = \mathbf{0}$，说明 $A^{*}$ 的列向量均属于 $A$ 的零空间。

2. 秩的讨论：

   • 若 $r(A) \leq 1$，则 $r(A^{*})=0$，即 $A^{*} = \mathbf{0}$，所有特征值为 $0$；
   • 若 $r(A)=2$，则 $r(A^{*})=1$，此时 $A^{*}$ 的秩为 $1$，存在一个非零特征值，但其余两个特征值必为 $0$。

3. 必然性结论：
   无论 $A$ 的秩如何，只要 $|A|=0$，$A^{*}$ 的特征值中至少有一个 $0$，因此选项 B 正确。