题目
函数f(x)=(x^2+9)(x-(3)/(x))，当x=3时，导数为( )A. -2B. -16C. 21D. 36
函数$f(x)=(x^{2}+9)(x-\frac{3}{x})$，当x=3时，导数为( )
A. -2
B. -16
C. 21
D. 36
题目解答
答案
D. 36
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要对函数$f(x)=(x^{2}+9)(x-\frac{3}{x})$求导。根据乘积法则，如果$u(x)$和$v(x)$是两个可导函数，那么$(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$。这里，$u(x)=x^{2}+9$，$v(x)=x-\frac{3}{x}$。
步骤 2：计算$u'(x)$和$v'(x)$
$u'(x)=2x$，$v'(x)=1+\frac{3}{x^{2}}$。
步骤 3：应用乘积法则
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x(x-\frac{3}{x})+(x^{2}+9)(1+\frac{3}{x^{2}})$。
步骤 4：化简导数表达式
$f'(x)=2x^{2}-6+x^{2}+9+\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{27}{x^{2}}=3x^{2}+6+\frac{27}{x^{2}}$。
步骤 5：计算$x=3$时的导数值
将$x=3$代入$f'(x)$中，得到$f'(3)=3(3)^{2}+6+\frac{27}{(3)^{2}}=27+6+3=36$。
首先，我们需要对函数$f(x)=(x^{2}+9)(x-\frac{3}{x})$求导。根据乘积法则，如果$u(x)$和$v(x)$是两个可导函数，那么$(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$。这里，$u(x)=x^{2}+9$，$v(x)=x-\frac{3}{x}$。
步骤 2：计算$u'(x)$和$v'(x)$
$u'(x)=2x$，$v'(x)=1+\frac{3}{x^{2}}$。
步骤 3：应用乘积法则
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x(x-\frac{3}{x})+(x^{2}+9)(1+\frac{3}{x^{2}})$。
步骤 4：化简导数表达式
$f'(x)=2x^{2}-6+x^{2}+9+\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{27}{x^{2}}=3x^{2}+6+\frac{27}{x^{2}}$。
步骤 5：计算$x=3$时的导数值
将$x=3$代入$f'(x)$中，得到$f'(3)=3(3)^{2}+6+\frac{27}{(3)^{2}}=27+6+3=36$。