题目
积分int dfrac (1)(1+cos x)dx等于( )
积分
等于( )
题目解答
答案
由题意得：
解析
步骤 1：化简被积函数
我们首先需要化简被积函数$\dfrac{1}{1+\cos x}$。利用三角恒等式$1+\cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$，可以将被积函数化简为$\dfrac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$。
步骤 2：积分
将被积函数化简后，积分变为$\int \dfrac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}dx$。利用$\sec^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$，积分可以进一步化简为$\int \dfrac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)dx$。由于$\int \sec^2\left(\frac{x}{2}\right)d\left(\frac{x}{2}\right) = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$，因此积分结果为$\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：验证
为了验证结果，我们可以对$\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$求导，得到$\dfrac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)$，这与被积函数$\dfrac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$一致，因此结果正确。
我们首先需要化简被积函数$\dfrac{1}{1+\cos x}$。利用三角恒等式$1+\cos x = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$，可以将被积函数化简为$\dfrac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$。
步骤 2：积分
将被积函数化简后，积分变为$\int \dfrac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}dx$。利用$\sec^2\left(\frac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$，积分可以进一步化简为$\int \dfrac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)dx$。由于$\int \sec^2\left(\frac{x}{2}\right)d\left(\frac{x}{2}\right) = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$，因此积分结果为$\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$，其中$C$是积分常数。
步骤 3：验证
为了验证结果，我们可以对$\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$求导，得到$\dfrac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)$，这与被积函数$\dfrac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$一致，因此结果正确。