题目
8 计算由四个平面 x=0, y=0, x=1, y=1 所围成的柱体被平面 z=0 及 2x+3y+z=6 截得的立体
8 计算由四个平面 x=0, y=0, x=1, y=1 所围成的柱体被平面 z=0 及 2x+3y+z=6 截得的立体
题目解答
答案
为了计算由平面 $x=0$, $y=0$, $x=1$, $y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及 $2x+3y+z=6$ 截得的立体的体积，我们可以使用二重积分。立体的体积 $V$ 可以表示为区域 $D$ 上的函数 $z=6-2x-3y$ 的二重积分，其中 $D$ 是由 $x=0$, $y=0$, $x=1$, 和 $y=1$ 所围成的正方形。
体积 $V$ 由下式给出：
\[
V = \iint_D (6-2x-3y) \, dA
\]
其中 $D$ 是区域 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。我们可以将这个二重积分写为迭代积分：
\[
V = \int_0^1 \int_0^1 (6-2x-3y) \, dy \, dx
\]
首先，我们关于 $y$ 进行积分：
\[
\int_0^1 (6-2x-3y) \, dy = \left[ 6y - 2xy - \frac{3y^2}{2} \right]_0^1 = \left( 6 \cdot 1 - 2x \cdot 1 - \frac{3 \cdot 1^2}{2} \right) - \left( 6 \cdot 0 - 2x \cdot 0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) = 6 - 2x - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - 2x
\]
接下来，我们关于 $x$ 进行积分：
\[
\int_0^1 \left( \frac{9}{2} - 2x \right) \, dx = \left[ \frac{9}{2}x - x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{9}{2} \cdot 1 - 1^2 \right) - \left( \frac{9}{2} \cdot 0 - 0^2 \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}
\]
因此，立体的体积为：
\[
\boxed{\frac{7}{2}}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
由平面 $x=0$, $y=0$, $x=1$, $y=1$ 所围成的区域 $D$ 是一个正方形，其边界为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。
步骤 2：确定被积函数
被积函数为 $z=6-2x-3y$，这是由平面 $2x+3y+z=6$ 和 $z=0$ 所确定的立体的上表面。
步骤 3：计算二重积分
体积 $V$ 可以表示为区域 $D$ 上的函数 $z=6-2x-3y$ 的二重积分：\[ V = \iint_D (6-2x-3y) \, dA \] 其中 $D$ 是区域 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。我们可以将这个二重积分写为迭代积分：\[ V = \int_0^1 \int_0^1 (6-2x-3y) \, dy \, dx \]
步骤 4：计算关于 $y$ 的积分
首先，我们关于 $y$ 进行积分：\[ \int_0^1 (6-2x-3y) \, dy = \left[ 6y - 2xy - \frac{3y^2}{2} \right]_0^1 = \left( 6 \cdot 1 - 2x \cdot 1 - \frac{3 \cdot 1^2}{2} \right) - \left( 6 \cdot 0 - 2x \cdot 0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) = 6 - 2x - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - 2x \]
步骤 5：计算关于 $x$ 的积分
接下来，我们关于 $x$ 进行积分：\[ \int_0^1 \left( \frac{9}{2} - 2x \right) \, dx = \left[ \frac{9}{2}x - x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{9}{2} \cdot 1 - 1^2 \right) - \left( \frac{9}{2} \cdot 0 - 0^2 \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2} \]
由平面 $x=0$, $y=0$, $x=1$, $y=1$ 所围成的区域 $D$ 是一个正方形，其边界为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。
步骤 2：确定被积函数
被积函数为 $z=6-2x-3y$，这是由平面 $2x+3y+z=6$ 和 $z=0$ 所确定的立体的上表面。
步骤 3：计算二重积分
体积 $V$ 可以表示为区域 $D$ 上的函数 $z=6-2x-3y$ 的二重积分：\[ V = \iint_D (6-2x-3y) \, dA \] 其中 $D$ 是区域 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。我们可以将这个二重积分写为迭代积分：\[ V = \int_0^1 \int_0^1 (6-2x-3y) \, dy \, dx \]
步骤 4：计算关于 $y$ 的积分
首先，我们关于 $y$ 进行积分：\[ \int_0^1 (6-2x-3y) \, dy = \left[ 6y - 2xy - \frac{3y^2}{2} \right]_0^1 = \left( 6 \cdot 1 - 2x \cdot 1 - \frac{3 \cdot 1^2}{2} \right) - \left( 6 \cdot 0 - 2x \cdot 0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) = 6 - 2x - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - 2x \]
步骤 5：计算关于 $x$ 的积分
接下来，我们关于 $x$ 进行积分：\[ \int_0^1 \left( \frac{9}{2} - 2x \right) \, dx = \left[ \frac{9}{2}x - x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{9}{2} \cdot 1 - 1^2 \right) - \left( \frac{9}{2} \cdot 0 - 0^2 \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2} \]