(4)设A=[a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)]是四阶矩阵，方程组Ax=b的通解是(2,1,0,1)^T+k(1,-1,2,0)^T.证明：a_(4)不能由a_(1),a_(2),a_(3)线性表出，但a_(4)可由a_(1),a_(2),b线性表出并写出表达式.

设 $ A = [a_1, a_2, a_3, a_4] $，方程组 $ Ax = b $ 的通解为 $ (2, 1, 0, 1)^T + k(1, -1, 2, 0)^T $。 1. **秩的分析**： 通解中基础解系为 $ (1, -1, 2, 0)^T $，秩 $ r(A) = 4 - 1 = 3 $。 2. **$ a_4 $ 与 $ a_1, a_2, a_3 $ 的关系**： 由 $ A(1, -1, 2, 0)^T = 0 $，得 $ a_1 - a_2 + 2a_3 = 0 $，即 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性相关。 由于 $ r(A) = 3 $，$ a_4 $ 与 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性无关，故 $ a_4 $ 不能由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表出。 3. **$ a_4 $ 与 $ a_1, a_2, b $ 的关系**： 由特解 $ (2, 1, 0, 1)^T $，得 $ A(2, 1, 0, 1)^T = b $，即 $ 2a_1 + a_2 + a_4 = b $。 解得 $ a_4 = b - 2a_1 - a_2 $，故 $ a_4 $ 可由 $ a_1, a_2, b $ 线性表出。 **结论**： (1) $ a_4 $ 不能由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表出。 (2) $ a_4 = b - 2a_1 - a_2 $。 \[ \boxed{ \begin{array}{l} \text{(1) } a_4 \text{ 不能由 } a_1, a_2, a_3 \text{ 线性表出。} \\ \text{(2) } a_4 = b - 2a_1 - a_2. \end{array} } \]