23. (8.0分) 求微分方程(dy)/(dx)+3y=e^2x的通解。

考查要点：本题主要考查一阶线性常微分方程的解法，核心是积分因子法的应用。

解题思路：

1. 识别方程类型：确认方程为一阶线性微分方程，标准形式为$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 计算积分因子：利用公式$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$，其中$P(x) = 3$。
3. 应用通解公式：将方程两边乘以积分因子，转化为可直接积分的形式，最终得到通解。

关键点：

• 积分因子的正确计算是破题关键。
• 积分过程需注意指数函数的合并与积分规则。

步骤1：确定方程形式与参数

原方程$\frac{dy}{dx} + 3y = e^{2x}$已符合一阶线性方程的标准形式：
$P(x) = 3, \quad Q(x) = e^{2x}$

步骤2：计算积分因子

积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3 dx} = e^{3x}$

步骤3：方程两边乘以积分因子

原方程两边同乘$e^{3x}$：
$e^{3x} \frac{dy}{dx} + 3e^{3x} y = e^{2x} \cdot e^{3x}$
左边可整理为全导数形式：
$\frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{3x} \right) = e^{5x}$

步骤4：积分求解

对等式两边积分：
$\int \frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{3x} \right) dx = \int e^{5x} dx$
得到：
$y \cdot e^{3x} = \frac{1}{5} e^{5x} + C$

步骤5：化简得通解

两边同乘$e^{-3x}$：
$y = \frac{1}{5} e^{2x} + C e^{-3x}$