(10分)利用拉氏变换解常微分方程初值问题: ) y''-2y'+y=1 y(0)=0,y'(0)=-1 .

步骤 1：应用拉氏变换
对给定的常微分方程 $y''-2y'+y=1$ 应用拉氏变换，利用拉氏变换的性质，得到：
${s}^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)-2[sY(s)-y(0)]+Y(s)=\dfrac {1}{s}$
步骤 2：代入初始条件
代入初始条件 $y(0)=0$ 和 $y'(0)=-1$，得到：
${s}^{2}Y(s)-(-1)-2sY(s)+Y(s)=\dfrac {1}{s}$
步骤 3：简化方程
简化方程，得到：
${s}^{2}Y(s)+1-2sY(s)+Y(s)=\dfrac {1}{s}$
${s}^{2}Y(s)-2sY(s)+Y(s)=\dfrac {1}{s}-1$
步骤 4：求解 $Y(s)$
将方程整理为关于 $Y(s)$ 的表达式，得到：
$Y(s)=\dfrac {1-s}{({s}^{2}-2s+1)s}$
步骤 5：部分分式分解
对 $Y(s)$ 进行部分分式分解，得到：
$Y(s)=\dfrac {1}{s}-\dfrac {1}{s-1}$
步骤 6：反拉氏变换
对 $Y(s)$ 进行反拉氏变换，得到：
$y(t)={L}^{-1}[Y(s)]={L}^{-1}[\dfrac {1}{s}-\dfrac {1}{s-1}]$
步骤 7：计算反拉氏变换
计算反拉氏变换，得到：
$y(t)=1-{e}^{t}$