设矩阵A=(alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4))，其中alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)线性无关，alpha_(1)=alpha_(2)+2alpha_(3)；向量beta=alpha_(1)+2alpha_(2)+3alpha_(3)+4alpha_(4)，求方程Ax=beta的通解.

本题考查线性方程组通解的求解，解题思路是先根据矩阵$A$列向量的线性关系求出齐次线性方程组$Ax = 0$的基础解系，再找出非齐次线性方程组$Ax = \beta$的一个特解，最后根据非齐次线性方程组通解的结构得到$Ax = \beta$的通解。

1. 求齐次方程$Ax = 0$的基础解系：
   已知矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，$Ax = 0$即$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = 0$。
   因为$\alpha_1 = \alpha_2 + 2\alpha_3$，将其代入上式可得：
   $x_1(\alpha_2 + 2\alpha_3) + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = 0$
   根据向量的分配律展开得：
   $(x_1 + x_2)\alpha_2 + (2x_1 + x_3)\alpha_3 + x_4\alpha_4 = 0$
   又因为$\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$线性无关，根据线性无关的定义，若$k_1\alpha_2 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_4 = 0$，则$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，所以可得方程组：
   $\begin{cases}x_1 + x_2 = 0\\2x_1 + x_3 = 0\\x_4 = 0\end{cases}$
   由$x_1 + x_2 = 0$可得$x_2 = -x_1$；由$2x_1 + x_3 = 0$可得$x_3 = -2x_1$；$x_4 = 0$。
   令$x_1 = k$（$k$为任意常数），则$x_2 = -k$，$x_3 = -2k$，$x_4 = 0$，那么方程组的通解为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\0\end{pmatrix}$。
   所以齐次方程$Ax = 0$的基础解系为$\eta = \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\0\end{pmatrix}$。
2. 求非齐次方程$Ax = \beta$的特解：
   已知$\beta = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 + 4\alpha_4$，对比$Ax = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4$，显然$x^* = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}$是方程$Ax = \beta$的一个特解。
3. 求非齐次方程$Ax = \beta$的通解：
   根据非齐次线性方程组通解的结构，非齐次方程$Ax = \beta$的通解为特解$x^*$加上齐次方程$Ax = 0$的通解$k\eta$（$k$为任意常数），即：
   $x = x^* + k\eta = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + k\\2 - k\\3 - 2k\\4\end{pmatrix}$