题目
3.填空题1.设 10×15 矩阵的秩为 8 ，则 AX=0 的解向量组的秩为____.
3.填空题
1.设 10×15 矩阵的秩为 8 ，则 AX=0 的解向量组的秩为____.
题目解答
答案
要确定齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解向量组的秩，其中 $A$ 是一个 $10 \times 15$ 的矩阵，秩为 8，我们可以使用线性代数中的一个基本结果。这个结果表明，对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解空间的维数（即解向量组的秩）由 $n - \text{rank}(A)$ 给出。
这里，矩阵 $A$ 是 $10 \times 15$ 的，所以 $n = 15$。矩阵 $A$ 的秩为 8，所以 $\text{rank}(A) = 8$。因此，$AX = 0$ 的解向量组的秩为：
\[
n - \text{rank}(A) = 15 - 8 = 7
\]
因此，$AX = 0$ 的解向量组的秩为 $\boxed{7}$。
解析
步骤 1：确定矩阵的秩
给定矩阵 $A$ 是一个 $10 \times 15$ 的矩阵，其秩为 8。这意味着矩阵 $A$ 的行空间和列空间的维度都是 8。
步骤 2：应用线性代数的基本定理
根据线性代数的基本定理，对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解空间的维数（即解向量组的秩）由 $n - \text{rank}(A)$ 给出。这里，$n = 15$，$\text{rank}(A) = 8$。
步骤 3：计算解向量组的秩
根据上述定理，$AX = 0$ 的解向量组的秩为：\[ n - \text{rank}(A) = 15 - 8 = 7 \]
给定矩阵 $A$ 是一个 $10 \times 15$ 的矩阵，其秩为 8。这意味着矩阵 $A$ 的行空间和列空间的维度都是 8。
步骤 2：应用线性代数的基本定理
根据线性代数的基本定理，对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，齐次线性方程组 $AX = 0$ 的解空间的维数（即解向量组的秩）由 $n - \text{rank}(A)$ 给出。这里，$n = 15$，$\text{rank}(A) = 8$。
步骤 3：计算解向量组的秩
根据上述定理，$AX = 0$ 的解向量组的秩为：\[ n - \text{rank}(A) = 15 - 8 = 7 \]