7.设-|||-以下两题中给出了四个结论,从中选出一个正确的结论:-|||-f(x) = {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 .-|||-则f(x)在 x=1 处的 ()-|||-(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在,右导数不存在-|||-(C)左导数不存在,右导数存在 (D)左、右导数都不存在

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的导数存在性判断，特别是左导数和右导数的计算。

解题核心思路：

1. 分段函数的导数计算：在分段点处，需分别计算左导数和右导数，判断是否存在。
2. 导数定义的应用：左导数对应$x$从左侧趋近于分段点，右导数对应$x$从右侧趋近于分段点。
3. 极限是否存在：若左、右导数的极限存在且相等，则函数在该点可导；否则不可导。

破题关键点：

• 左导数计算：利用$x \leq 1$时的表达式$f(x) = \dfrac{2}{3}x^3$，通过因式分解简化极限计算。
• 右导数判断：利用$x > 1$时的表达式$f(x) = x^2$，分析极限是否存在。

左导数计算

左导数定义为：
$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$
当$x \leq 1$时，$f(x) = \dfrac{2}{3}x^3$，且$f(1) = \dfrac{2}{3}$，代入得：
$\begin{aligned}f'_-(1) &= \lim_{x \to 1^-} \frac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{2}{3}}{x - 1} \\&= \dfrac{2}{3} \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \\&= \dfrac{2}{3} \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) \quad \text{（因式分解$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$）} \\&= \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2\end{aligned}$
结论：左导数存在，且$f'_-(1) = 2$。

右导数判断

右导数定义为：
$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$
当$x > 1$时，$f(x) = x^2$，且$f(1) = \dfrac{2}{3}$，代入得：
$\begin{aligned}f'_+(1) &= \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - \dfrac{2}{3}}{x - 1} \\&= \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}\end{aligned}$
当$x \to 1^+$时，分子$x^2 \to 1$，因此分子趋近于$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$，而分母$x - 1 \to 0^+$。此时：
$\frac{\dfrac{1}{3}}{0^+} \to +\infty$
结论：右导数的极限不存在（趋向于无穷大），因此右导数不存在。