题目
填空题设y=y(x)是微分方程y=y(x)满足初始条件 y=y(x)的解，则y=y(x)
填空题
设
是微分方程
满足初始条件 
的解，则
题目解答
答案
因为微分方程，所以
，所以
，因为满足初始条件 ，所以
，即
，所以
解析
步骤 1：求解微分方程
微分方程$\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dx}{x}$，两边积分得到$\ln y=\ln x+\ln C$，即$y=Cx$。
步骤 2：应用初始条件
根据初始条件 y(1)=1，代入$y=Cx$得到$1=C*1$，所以$C=1$。
步骤 3：求解定积分
根据步骤2得到的$y=x$，计算${\int }_{0}^{2}y(x)dx={\int }_{0}^{2}xdx$。
步骤 4：计算积分结果
${\int }_{0}^{2}xdx=\dfrac {1}{2}x^2|_{0}^{2}=\dfrac {1}{2}(2^2-0^2)=2$。
微分方程$\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dx}{x}$，两边积分得到$\ln y=\ln x+\ln C$，即$y=Cx$。
步骤 2：应用初始条件
根据初始条件 y(1)=1，代入$y=Cx$得到$1=C*1$，所以$C=1$。
步骤 3：求解定积分
根据步骤2得到的$y=x$，计算${\int }_{0}^{2}y(x)dx={\int }_{0}^{2}xdx$。
步骤 4：计算积分结果
${\int }_{0}^{2}xdx=\dfrac {1}{2}x^2|_{0}^{2}=\dfrac {1}{2}(2^2-0^2)=2$。