[题目]求齐次线性方程组 ) (x)_(1)-8(x)_(2)+10(x)_(3)+2(x)_(4)=0 2(x)_(1)+4(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=0 3(x)_(1)+8(x)_(2)+6(x)_ . 的-|||-基础解系和通解.

步骤 1：写出系数矩阵
首先，将方程组写成矩阵形式，得到系数矩阵 A：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -8 & 10 & 2 \\
2 & 4 & 5 & -1 \\
3 & 8 & 6 & -2
\end{pmatrix}
$$

步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵 A 进行初等行变换，化简为行最简形矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -8 & 10 & 2 \\
2 & 4 & 5 & -1 \\
3 & 8 & 6 & -2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -8 & 10 & 2 \\
0 & 20 & -15 & -5 \\
0 & 32 & -24 & -8
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -8 & 10 & 2 \\
0 & 1 & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

步骤 3：确定自由变量
从行最简形矩阵中，可以看出 ${x}_{3}$ 和 ${x}_{4}$ 是自由变量，设 ${x}_{3} = k_{1}$，${x}_{4} = k_{2}$。

步骤 4：求解基础解系
根据行最简形矩阵，可以得到方程组的解：
$$
\begin{cases}
{x}_{1} - 8{x}_{2} + 10{x}_{3} + 2{x}_{4} = 0 \\
{x}_{2} - \frac{3}{4}{x}_{3} - \frac{1}{4}{x}_{4} = 0
\end{cases}
$$
代入 ${x}_{3} = k_{1}$，${x}_{4} = k_{2}$，得到：
$$
\begin{cases}
{x}_{1} = 8{x}_{2} - 10k_{1} - 2k_{2} \\
{x}_{2} = \frac{3}{4}k_{1} + \frac{1}{4}k_{2}
\end{cases}
$$
因此，基础解系为：
$$
\begin{pmatrix}
-4 \\
\frac{3}{4} \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\text{和}
\begin{pmatrix}
-4 \\
\frac{1}{4} \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$$

步骤 5：写出通解
通解为：
$$
x = k_{1} \begin{pmatrix}
-4 \\
\frac{3}{4} \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + k_{2} \begin{pmatrix}
-4 \\
\frac{1}{4} \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$$
其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 为任意常数。