题目

3、设常数 gt 0, 讨论a的值,确定曲线 =(e)^ax 与曲线 =(x)^2 在第一象限中公共点的-|||-个数.

题目解答

答案

解析

本题考查利用导数研究函数的零点问题，解题的关键在于将曲线公共点个数问题转化为方程解的个数问题，再进一步转化为直线与函数图象交点个数问题。

  1. 确定公共点个数与方程解的关系：
    曲线$y = e^{ax}$与曲线$y = x^2$在第一象限中公共点的个数，即方程$e^{ax}=x^2$在$x\gt0$时解的个数。
    对$e^{ax}=x^2$两边取自然对数可得$ax = \ln x^2 = 2\ln x$，因为$x\gt0$，所以$a=\frac{2\ln x}{x}$。
    那么问题就转化为直线$y = a$与函数$f(x)=\frac{2\ln x}{x}(x\gt0)$的图象交点个数问题。
  2. 分析函数$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$的性质：
    • 求导：
      根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$求导，其中$u = 2\ln x$，$u^\prime=\frac{2}{x}$，$v = x$，$v^\prime = 1$，可得$f^\prime(x)=\frac{\frac{2}{x}\cdot x - 2\ln x}{x^2}=\frac{2 - 2\ln x}{x^2}$。
    • 求极值点：
      令$f^\prime(x)=0$，即$\frac{2 - 2\ln x}{x^2}=0$，因为$x^2\gt0$，所以$2 - 2\ln x = 0$，解得$\ln x = 1$，即$x = e$。
    • 分析单调性：
      当$0\lt x\lt e$时，$\ln x\lt1$，则$2 - 2\ln x\gt0$，所以$f^\prime(x)\gt0$，函数$f(x)$在$(0,e)$上单调递增；
      当$x\gt e$时，$\ln x\gt1$，则$2 - 2\ln x\lt0$，所以$f^\prime(x)\lt0$，函数$f(x)$在$(e,+\infty)$上单调递减。
    • 求极限值和极值：
      当$x\to0^+$时，$\ln x\to-\infty$，所以$f(x)=\frac{2\ln x}{x}\to-\infty$；
      当$x\to+\infty$时，因为$\ln x$的增长速度远小于$x$的增长速度，所以$f(x)=\frac{2\ln x}{x}\to0$；
      当$x = e$时，$f(x)$取得极大值，也是最大值，$f(e)=\frac{2\ln e}{e}=\frac{2}{e}$。
  3. 根据$a$的取值范围确定交点个数：
    • 当$0\lt a\lt\frac{2}{e}$时，直线$y = a$与函数$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$的图象有两个交点，即曲线$y = e^{ax}$与曲线$y = x^2$在第一象限中有$2$个公共点。
    • 当$a = \frac{2}{e}$时，直线$y = a$与函数$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$的图象有一个交点，即曲线$y = e^{ax}$与曲线$y = x^2$在第一象限中有$1$个公共点。
    • 当$a\gt\frac{2}{e}$时，直线$y = a$与函数$f(x)=\frac{2\ln x}{x}$的图象没有交点，即曲线$y = e^{ax}$与曲线$y = x^2$在第一象限中没有公共点。