3、设常数 gt 0, 讨论a的值,确定曲线 =(e)^ax 与曲线 =(x)^2 在第一象限中公共点的-|||-个数.

步骤 1：确定公共点的条件
曲线 $y = e^{ax}$ 与曲线 $y = x^2$ 在第一象限中公共点的个数，即求解方程 $e^{ax} = x^2$ 的正实数解的个数。

步骤 2：引入辅助函数
令 $f(x) = e^{ax} - x^2$，则问题转化为求解 $f(x) = 0$ 的正实数解的个数。

步骤 3：分析辅助函数的性质
对 $f(x)$ 求导，得到 $f'(x) = ae^{ax} - 2x$。为了确定 $f(x)$ 的单调性，需要进一步分析 $f'(x)$ 的符号。

步骤 4：求解 $f'(x) = 0$
令 $f'(x) = 0$，即 $ae^{ax} = 2x$。解这个方程，得到 $x = \frac{1}{a} \ln \frac{2x}{a}$。为了进一步分析，考虑 $g(x) = \frac{1}{a} \ln \frac{2x}{a}$，则 $g'(x) = \frac{1}{ax}$，说明 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

步骤 5：确定 $f(x)$ 的极值点
由于 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，且 $g(0) = -\infty$，$g(+\infty) = +\infty$，因此 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上存在唯一零点 $x_0$，即 $f'(x_0) = 0$。因此，$f(x)$ 在 $(0, x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0, +\infty)$ 上单调递增。

步骤 6：确定 $f(x)$ 的零点个数
由于 $f(0) = 1$，$f(+\infty) = +\infty$，且 $f(x)$ 在 $(0, x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0, +\infty)$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上的零点个数取决于 $f(x_0)$ 的符号。
- 当 $f(x_0) > 0$ 时，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上无零点。
- 当 $f(x_0) = 0$ 时，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一零点。
- 当 $f(x_0) < 0$ 时，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有两个零点。

步骤 7：确定 $f(x_0)$ 的符号
由于 $f'(x_0) = 0$，即 $ae^{ax_0} = 2x_0$，代入 $f(x_0)$，得到 $f(x_0) = e^{ax_0} - x_0^2 = \frac{2x_0}{a} - x_0^2 = x_0 \left( \frac{2}{a} - x_0 \right)$。因此，$f(x_0)$ 的符号取决于 $\frac{2}{a} - x_0$ 的符号。
- 当 $a > \frac{2}{e}$ 时，$x_0 < \frac{2}{a}$，因此 $f(x_0) > 0$，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上无零点。
- 当 $a = \frac{2}{e}$ 时，$x_0 = \frac{2}{a} = e$，因此 $f(x_0) = 0$，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一零点。
- 当 $0 < a < \frac{2}{e}$ 时，$x_0 > \frac{2}{a}$，因此 $f(x_0) < 0$，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有两个零点。