若alpha_1,alpha_2,alpha_3线性无关则alpha_1+alpha_2,alpha_2+alpha_3,alpha_3+alpha_1也线性无关。()A. 对B. 错

本题考察向量组线性无关的判定方法，核心思路是通过线性组合等于零向量推导系数是否全为零。

步骤1：设线性组合等于零向量

假设存在一组数$k_1,k_2,k_3$，使得：
$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + k_3(\alpha_3+\alpha_1) = 0$

步骤2：整理组合式

将上式展开并按$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$分组：
$(k_1 + k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = 0$

步骤3：利用已知线性无关条件列方程组

因为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，所以它们的系数必须全为零，得到线性方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_3 = 0 & (1) \\k_1 + k_2 = 0 & (2) \\k_2 + k_3 = 0 & (3)\end{cases}$

步骤4：求解方程组

• 由(1)得$k_3 = -k_1$
• 由(2)得$k_2 = -k_1$
• 代入(3)：$-k_1 + (-k_1) = -2k_1 = 0$，故$k_1 = 0$
• 从而$k_2 = k_3 = 0$

结论

只有当$k_1=k_2=k_3=0$时线性组合才为零向量，因此$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$线性无关。