20.设随机变量X服从几何分布,其分布律为-|||- X=k =p((1-p))^k-1 , =1, 2,···,-|||-其中 lt plt 1 是常数.求E(X),D(X).

步骤 1：计算期望E(X)
期望E(X)是随机变量X的加权平均值，其中权重是X取各个值的概率。对于几何分布，我们有：
$$
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} nP(X=n) = \sum_{n=1}^{\infty} np(1-p)^{n-1}
$$
为了计算这个无穷级数，我们利用幂级数的性质。首先，我们知道：
$$
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots, \quad |x| < 1
$$
对上式两边关于x求导，得到：
$$
\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + kx^{k-1} + \cdots, \quad |x| < 1
$$
将$x = 1-p$代入上式，得到：
$$
\frac{1}{(1-(1-p))^2} = \frac{1}{p^2} = 1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + \cdots + k(1-p)^{k-1} + \cdots
$$
因此，我们有：
$$
E(X) = p \sum_{n=1}^{\infty} n(1-p)^{n-1} = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
$$

步骤 2：计算方差D(X)
方差D(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为：
$$
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
首先，我们计算$E(X^2)$。利用期望的线性性质，我们有：
$$
E(X^2) = E[X(X+1) - X] = E[X(X+1)] - E(X)
$$
其中，$E[X(X+1)]$可以表示为：
$$
E[X(X+1)] = \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)P(X=n) = \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)p(1-p)^{n-1}
$$
为了计算这个无穷级数，我们再次利用幂级数的性质。对$\frac{1}{(1-x)^2}$关于x求导，得到：
$$
\frac{2}{(1-x)^3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + \cdots + k(k+1)x^{k-1} + \cdots, \quad |x| < 1
$$
将$x = 1-p$代入上式，得到：
$$
\frac{2}{(1-(1-p))^3} = \frac{2}{p^3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3(1-p) + 3 \cdot 4(1-p)^2 + \cdots + k(k+1)(1-p)^{k-1} + \cdots
$$
因此，我们有：
$$
E[X(X+1)] = p \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)(1-p)^{n-1} = p \cdot \frac{2}{p^3} = \frac{2}{p^2}
$$
于是：
$$
E(X^2) = E[X(X+1)] - E(X) = \frac{2}{p^2} - \frac{1}{p}
$$
最后，我们计算方差：
$$
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{p^2} - \frac{1}{p} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{2}{p^2} - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}
$$