求下列极限: lim _(xarrow 0)[ dfrac ({int )_(0)^xsqrt (1+{t)^2}dt}(x)+dfrac ({int )_(0)^xsin tdt}({x)^2}]

本题考查极限的计算，涉及积分与无穷小量的比较，需灵活运用洛必达法则和等价无穷小替换。解题关键在于：

1. 识别不定型结构：两个分式均为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\text{常数}}{0}$型，需分别处理；
2. 正确应用洛必达法则：对第一部分直接应用，第二部分需注意积分上限是否为变量；
3. 等价无穷小替换：简化第二部分的计算。

第一部分：$\dfrac{{\int }_{0}^{x}\sqrt{1+t^2}dt}{x}$

1. 判断不定型：当$x \to 0$时，分子$\int_{0}^{x}\sqrt{1+t^2}dt \to 0$，分母$x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型；
2. 应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x}\sqrt{1+t^2}dt}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}}{1} = 1$

第二部分：$\dfrac{{\int }_{0}^{x}\sin tdt}{x^2}$

1. 计算积分：$\int_{0}^{x}\sin tdt = 1 - \cos x$；
2. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$；
3. 化简求极限：
   $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$

合并结果

两部分相加：
$\lim_{x \to 0} \left[ 1 + \frac{1}{2} \right] = \frac{3}{2}$