题目
(2)设 (x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1} 若 =1, x=-1 均为f(x)的跳跃间断点,则 () ()-|||-(A) +b=1, -bneq -1 (B) +b=1, a-b=-1-|||-(C) +bneq 1, -bneq -1 (D) +bneq 1, a-b=-1
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在不同区间内的极限表达式，以及跳跃间断点的判定条件。关键在于分析函数在$x=1$和$x=-1$处的左右极限，并判断其是否相等。
解题思路：
- 分区间讨论极限：当$|x|>1$时，分子和分母的最高次项主导，极限为$\dfrac{1}{x}$；当$|x|<1$时，高次项趋于0，极限为$a x^2 + b x$。
- 计算间断点处的左右极限：分别求$x=1$和$x=-1$处的左右极限，判断其是否相等。
- 跳跃间断点的条件：左右极限存在但不相等，因此需满足$a + b \neq 1$且$a - b \neq -1$。
分区间分析函数表达式
-
当$|x| > 1$时：
- 分子中$x^{2n-1}$和分母中$x^{2n}$主导，极限为$\dfrac{x^{2n-1}}{x^{2n}} = \dfrac{1}{x}$。
- 因此，$f(x) = \dfrac{1}{x}$。
-
当$|x| < 1$时：
- $x^{2n-1}$和$x^{2n}$均趋于0，极限为$\dfrac{a x^2 + b x}{1} = a x^2 + b x$。
- 因此，$f(x) = a x^2 + b x$。
判断$x=1$和$x=-1$处的间断点类型
$x=1$处的左右极限
- 右极限（$x \to 1^+$）：$|x| > 1$，故$f(x) = \dfrac{1}{x}$，右极限为$\dfrac{1}{1} = 1$。
- 左极限（$x \to 1^-$）：$|x| < 1$，故$f(x) = a x^2 + b x$，左极限为$a(1)^2 + b(1) = a + b$。
- 跳跃间断点条件：左右极限不相等，即$a + b \neq 1$。
$x=-1$处的左右极限
- 左极限（$x \to -1^-$）：$|x| > 1$，故$f(x) = \dfrac{1}{x}$，左极限为$\dfrac{1}{-1} = -1$。
- 右极限（$x \to -1^+$）：$|x| < 1$，故$f(x) = a x^2 + b x$，右极限为$a(-1)^2 + b(-1) = a - b$。
- 跳跃间断点条件：左右极限不相等，即$a - b \neq -1$。
综合条件
- 结论：$a + b \neq 1$且$a - b \neq -1$，对应选项C。