1.x→0时,下列函数中, () 是无穷小.-|||-(A) ^2-1 (B) sin x+cos x-|||-(C)e^x (D) { ,xlt 0 .

考查要点：本题主要考查无穷小的定义及分段函数在特定点的极限计算。
解题思路：

1. 无穷小的定义：当自变量趋近于某值时，函数值无限趋近于0。
2. 逐项分析：分别计算每个选项在$x \to 0$时的极限，判断是否为0。
3. 分段函数处理：特别注意选项D的分段形式，需分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限，再综合判断。

破题关键：

• 选项D的分段特性：当$x < 0$时，函数形式为$x \sin \frac{2}{x}$，需利用有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小的性质。

选项分析

(A) $x^2 - 1$

当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，因此：
$\lim_{x \to 0} (x^2 - 1) = 0 - 1 = -1 \neq 0$
结论：不是无穷小。

(B) $\sin x + \cos x$

当$x \to 0$时，$\sin x \to 0$，$\cos x \to 1$，因此：
$\lim_{x \to 0} (\sin x + \cos x) = 0 + 1 = 1 \neq 0$
结论：不是无穷小。

(C) $e^x$

当$x \to 0$时，$e^x$在$x=0$处连续，因此：
$\lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \neq 0$
结论：不是无穷小。

(D) 分段函数

分段讨论：

1. 当$x \geq 0$时：函数为$f(x) = x$，此时：
   $\lim_{x \to 0^+} x = 0$
2. 当$x < 0$时：函数为$f(x) = x \sin \frac{2}{x}$。
   • $\sin \frac{2}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，因此：
     $|x \sin \frac{2}{x}| \leq |x|$
   • 当$x \to 0^-$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理：
     $\lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{2}{x} = 0$
     综合：无论$x$从哪边趋近于0，极限均为0，因此该函数是无穷小。