题目

4、已知二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下表所示:-|||-》 x` 0 1 2-|||-1 0.1 0.2 0.2-|||-2 0.3 0.1 0.1-|||-求:(1)关于UND和关于Y的边缘分布;(2)X与Y是否相互独立?(3)在 =1 的条件下,

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合分布律、边缘分布律的计算、随机变量独立性的判断以及条件分布的求解。

解题思路：

  1. 边缘分布：通过联合分布律对另一变量求和得到。
  2. 独立性判断：验证是否满足 $P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$ 对所有 $i,j$ 成立。
  3. 条件分布：利用条件概率公式 $P(X=i|Y=j)=\frac{P(X=i,Y=j)}{P(Y=j)}$ 计算。

关键点：

  • 边缘分布的求和方向需注意行（固定 $X$）或列（固定 $Y$）。
  • 独立性需逐一验证所有可能的 $(i,j)$ 组合。
  • 条件分布需确保分母 $P(Y=j)\neq 0$。

(1) 边缘分布律

X的边缘分布律

对每个 $X=i$，将对应的联合概率相加：

  • $P(X=0) = 0.1 + 0.3 = 0.4$
  • $P(X=1) = 0.2 + 0.1 = 0.3$
  • $P(X=2) = 0.2 + 0.1 = 0.3$

Y的边缘分布律

对每个 $Y=j$，将对应的联合概率相加：

  • $P(Y=1) = 0.1 + 0.2 + 0.2 = 0.5$
  • $P(Y=2) = 0.3 + 0.1 + 0.1 = 0.5$

(2) 独立性判断

验证是否存在 $P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$：

  • 例如，$P(X=0,Y=1)=0.1$，而 $P(X=0)P(Y=1)=0.4 \times 0.5=0.2 \neq 0.1$。
  • 其他组合（如 $X=1,Y=2$）也存在类似矛盾。
    结论：$X$ 与 $Y$ 不独立。

(3) 条件分布 $P(X|Y=1)$

根据条件概率公式：

  • $P(X=0|Y=1) = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$
  • $P(X=1|Y=1) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$
  • $P(X=2|Y=1) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$