题目

15.设A,B是两事件，且P（A）=0.6，P（B）=0.8，问：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB）取得最小值，最小值是多少？

15.设A,B是两事件，且P（A）=0.6，P（B）=0.8，问：

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？

（2）在什么条件下P（AB）取得最小值，最小值是多少？

题目解答

答案

解：（1）因为 $P\left(AB\right)\le P\left(A\right)=0.6,P\left(AB\right)\le P\left(B\right)=0.8$

所以当 $P\left(AB\right)=P\left(A\right)$ 时， $P\left(AB\right)$ 的最大值是0.6

（2）因为 $P\left(AB\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)\ge P\left(A\right)+P\left(B\right)-1=0.4$

所以有 $P\left(AB\right)\ge0.4$ .而当 $P\left(A\cup B\right)=1$ 时，有 $P\left(AB\right)$ 达到最小值0.4.

解析

步骤 1：确定P(AB)的最大值
由于$P(AB)\leqslant P(A)$且$P(AB)\leqslant P(B)$，所以$P(AB)$的最大值为$P(A)$和$P(B)$中的较小值，即$P(AB)\leqslant 0.6$。当$P(AB)=P(A)$时，$P(AB)$取到最大值0.6。
步骤 2：确定P(AB)的最小值
根据概率的加法公式，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。当$P(A\cup B)=1$时，$P(AB)$取到最小值。将$P(A)=0.6$和$P(B)=0.8$代入公式，得到$1=0.6+0.8-P(AB)$，解得$P(AB)=0.4$。