题目
1.求极限 lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(x)-dfrac (1)({e)^x-1}).
题目解答
答案
=
=0
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们观察到当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$ 也趋近于 $0$。因此，我们需要找到一个方法来化简表达式 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1}$，以便能够计算极限。
步骤 2：使用泰勒展开
为了化简表达式，我们可以使用 $e^x$ 的泰勒展开式。$e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$。因此，$e^x - 1 = x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$。
步骤 3：代入泰勒展开式
将 $e^x - 1$ 的泰勒展开式代入原表达式中，得到 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots}$。当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$x^2$、$x^3$ 等高阶项可以忽略，因此表达式可以近似为 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}$。
步骤 4：计算极限
由于 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x} = 0$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1}) = 0$。
首先，我们观察到当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$ 也趋近于 $0$。因此，我们需要找到一个方法来化简表达式 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1}$，以便能够计算极限。
步骤 2：使用泰勒展开
为了化简表达式，我们可以使用 $e^x$ 的泰勒展开式。$e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$。因此，$e^x - 1 = x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$。
步骤 3：代入泰勒展开式
将 $e^x - 1$ 的泰勒展开式代入原表达式中，得到 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots}$。当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$x^2$、$x^3$ 等高阶项可以忽略，因此表达式可以近似为 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x}$。
步骤 4：计算极限
由于 $\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{x} = 0$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{e}^{x}-1}) = 0$。