5-19 如图所示,一无限大均匀带电薄平板的电-|||-荷面密度为σ.在平板中部有一个半径为r的小圆孔.求-|||-圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度.

考查要点：本题主要考查带电平板和圆盘电场的叠加，以及如何利用电场叠加原理处理复杂电场问题。

解题核心思路：

1. 无限大均匀带电平板的电场：场强为 $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，方向垂直于板面。
2. 圆孔的影响：将问题转化为原平板电场与“挖去圆盘”电场的叠加。
3. 圆盘轴线上电场公式：利用积分法或已知公式计算圆盘在轴线上某点的场强，注意方向关系。

破题关键点：

• 叠加原理：总电场为原平板电场与圆孔处电场的矢量和。
• 符号处理：圆孔处电荷密度为 $-\sigma$，其场强方向与原平板场强相反，需正确代入公式。

步骤1：原平板的电场

无限大均匀带电平板的电场强度为：
$E_{\text{平板}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
方向垂直于平板向外。

步骤2：圆孔处电场的计算

圆孔可视为半径为 $r$、面密度为 $-\sigma$ 的圆盘。圆盘轴线上距离为 $x$ 的点的场强公式为：
$E_{\text{圆盘}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + r^2}} \right)$
方向与原平板场强相反。

步骤3：总电场的叠加

总电场为原平板电场与圆孔电场的矢量和：
$E_{\text{总}} = E_{\text{平板}} - E_{\text{圆盘}}$
代入公式化简得：
$E_{\text{总}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + r^2}}$