题目
若z=infty是f(z)的可去奇点，则()。A. (Res)[f(z),infty]=0；B. (Res)[f(z),infty]neq 0；C. (Res)[f((1)/(z)),0]neq 0；D. (Res)[f((1)/(z)),0]=0；
若$z=\infty$是$f(z)$的可去奇点，则()。
A. $\text{Res}[f(z),\infty]=0$；
B. $\text{Res}[f(z),\infty]\neq 0$；
C. $\text{Res}[f(\frac{1}{z}),0]\neq 0$；
D. $\text{Res}[f(\frac{1}{z}),0]=0$；
题目解答
答案
A. $\text{Res}[f(z),\infty]=0$；
解析
步骤 1：理解可去奇点的定义
可去奇点是指函数在该点的奇异性可以通过定义或重新定义函数值来消除。对于无穷远点 $z=\infty$，如果它是 $f(z)$ 的可去奇点，那么 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的 Laurent 级数展开中不包含任何 $z$ 的正次幂项。
步骤 2：分析 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数
函数 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数由 $f\left(\frac{1}{z}\right)$ 在 $z=0$ 的 Laurent 级数展开中 $\frac{1}{z}$ 的系数的负数给出。由于 $z=\infty$ 是可去奇点，$f\left(\frac{1}{z}\right)$ 在 $z=0$ 的 Laurent 级数展开中不包含任何 $z$ 的负次幂项，因此 $\frac{1}{z}$ 的系数为零。因此，$f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数为零。
步骤 3：确定正确答案
根据上述分析，$f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数为零，因此选项 A 是正确的。选项 B、C 和 D 都不正确，因为它们与 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数为零的事实不符。
可去奇点是指函数在该点的奇异性可以通过定义或重新定义函数值来消除。对于无穷远点 $z=\infty$，如果它是 $f(z)$ 的可去奇点，那么 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的 Laurent 级数展开中不包含任何 $z$ 的正次幂项。
步骤 2：分析 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数
函数 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数由 $f\left(\frac{1}{z}\right)$ 在 $z=0$ 的 Laurent 级数展开中 $\frac{1}{z}$ 的系数的负数给出。由于 $z=\infty$ 是可去奇点，$f\left(\frac{1}{z}\right)$ 在 $z=0$ 的 Laurent 级数展开中不包含任何 $z$ 的负次幂项，因此 $\frac{1}{z}$ 的系数为零。因此，$f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数为零。
步骤 3：确定正确答案
根据上述分析，$f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数为零，因此选项 A 是正确的。选项 B、C 和 D 都不正确，因为它们与 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 的留数为零的事实不符。