题目
[题目]设 f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则f(x)在 x=1 处的(-|||-)-|||-A.左、右导数都存在-|||-B.左导数存在,右导数不存在-|||-C.左导数不存在,右导数存在-|||-D.左、右导数都不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算左导数
计算左导数，即当x从左侧趋近于1时，f(x)的导数。根据定义，左导数为：
$$\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {\dfrac {2}{3}{x}^{3}-\dfrac {2}{3}}{x-1}$$
$$=\dfrac {2}{3}\lim _{x\rightarrow 1^-}(x^2+x+1)=2$$
步骤 2：计算右导数
计算右导数，即当x从右侧趋近于1时，f(x)的导数。根据定义，右导数为：
$$\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {{x}^{2}-\dfrac {2}{3}}{x-1}$$
由于分子的极限为$\dfrac{1}{3}$，而分母的极限为0，所以右导数不存在。
计算左导数，即当x从左侧趋近于1时，f(x)的导数。根据定义，左导数为：
$$\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^-}\dfrac {\dfrac {2}{3}{x}^{3}-\dfrac {2}{3}}{x-1}$$
$$=\dfrac {2}{3}\lim _{x\rightarrow 1^-}(x^2+x+1)=2$$
步骤 2：计算右导数
计算右导数，即当x从右侧趋近于1时，f(x)的导数。根据定义，右导数为：
$$\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x\rightarrow 1^+}\dfrac {{x}^{2}-\dfrac {2}{3}}{x-1}$$
由于分子的极限为$\dfrac{1}{3}$，而分母的极限为0，所以右导数不存在。