单选题（共10题，20.0分） 4.（2.0分）若函数f(x,y)在点(a,b)处的两个偏导数均存在，则：A. f(x,y)在(a,b)处一定连续B. f(x,y)在(a,b)处可能不可微C. f(x,y)在(a,b)处一定可微D. 以上均不正确

本题考查多元函数偏导数存在、连续与可微之间的关系。解题思路是明确这几个概念之间的逻辑联系，然后根据这些联系来判断每个选项的正确性。

选项A分析

偏导数存在并不能保证函数在该点连续。偏导数存在只能说明函数在某一方向上的变化率存在，但不能反映函数在该点附近的整体变化情况。例如函数
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}$
在点$(0,0)$处，根据偏导数的定义求$f_x(0,0)$：
$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(0 + \Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x\cdot0}{\Delta x^{2}+0^{2}} - 0}{\Delta x}=0$
同理可得$f_y(0,0)=0$，即函数在$(0,0)$处两个偏导数都存在。
但当$(x,y)$沿$y = kx$趋近于$(0,0)$时，$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}ff(x,y)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{k}{1 + k^{2}}$，极限值与$k$有关，所以$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$不存在，函数在$(0,0)$处不连续。因此选项A错误。

选项B分析

函数在某点偏导数存在，只是可微的必要条件而非充分条件。也就是说，偏导数存在时，函数有可能不可微。由上述例子可知，函数在$(0,0)$处偏导数存在，但不连续，而可微的函数一定连续，所以该函数在$(0,0)$处不可微，这就说明函数在某点偏导数存在时，可能不可微，选项B正确。

选项C分析

如前面所举例子，函数在某点偏导数存在不能推出函数在该点可微，所以选项C错误。

选项D分析

因为选项B正确，所以选项D错误。