题目

8.单选题-|||-设方阵A= (} 2& -1& 2 5& -3& 3 -1& 0& -2-|||-仅有一个特征向量 =(1,1,-1)-|||--|||-2 -1 2 1 -1-|||-D 5 -3 3 1 = -1-|||--1 0 -2 -1 1

$\begin{aligned} &\text{8. 单选题} \\ &\text{设方阵}A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}, \text{则以下选项错误的} \\ &\text{是}()\\ & A\text{ 仅有一个特征值:}-1\\ &\text{B}A\text{ 的特征多项式为}{(x+1)^3} \\ &\text{C}A\text{ 仅有一个特征向量:}p=(1,1,-1)^T \\ &\text{D}\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &首先,我们来求矩阵A的特征值。 \\ &特征多项式为|\lambda E-A|= \\ &\begin{vmatrix}\lambda-2&1&-2\\-5&\lambda+3&-3\\1&0&\lambda+2\end{vmatrix},\text{展开计算可得}(\lambda+ \\ &1)^3,所以特征值为\lambda=-1(三重根),选项 \\ &\text{B正确。} \\ &\text{接下来求特征向量。} \\ &对于\lambda=-1,代入(\lambda E-A)X=0,即 \\ &\begin{pmatrix}-1-2&1&-2\\-5&-1+3&-3\\1&0&-1+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\ &\text{化简得到}\begin{pmatrix}-3&1&-2\\-5&2&-3\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} , \\ &\text{经过初等行变换可得}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \\ &\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} , \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\text{得到 }x+z=0 , y+z=0 , \text{令 }z=t , \text{则 }x \\ &=- t ,\quad y=- t ,\quad\text{所以特征向量为} k\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} , k \\ &\text{为任意非零常数,所以选项C错误。} \\ &再看选项D, \\ &\begin{pmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1-2\\5-3-3\\-1+0+2\end{pmatrix}= \\ &\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} , \text{选项D正确。} \\ &\text{综上错误的选项是C} \end{aligned}$

解析

步骤 1：计算特征多项式
计算矩阵A的特征多项式，即求解 $|\lambda E-A|$ 的行列式值。其中，E是单位矩阵，A是给定的矩阵。特征多项式为 $|\lambda E-A|=$ $\left |\begin{matrix} \lambda -2& 1& -2\\ -5& \lambda +3& -3\\ 1& 0& \lambda +2\end{matrix} | \right.$ 。

步骤 2：化简特征多项式
通过行列式展开计算，可以得到特征多项式为 $(x+1)^3$。这表明矩阵A的特征值为 $\lambda = -1$，且是三重根。

步骤 3：求解特征向量
对于 $\lambda = -1$，代入 $(\lambda E-A)X=0$，即 $\left (\begin{matrix} -1& 2& 1& -2\\ -5& -1+3& -3\\ 1& 0& -1+2\end{matrix} )(\begin{matrix} x\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ 0\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ y\end{matrix} )=(\begin{matrix} 0\\ 0\\ z\end{matrix} )=( \right.$ x 0\ 化简得到 $\left (\begin{matrix} -3& 1& -2\\ -5& 2& -3\\ 1& 0& 1\end{matrix} ) \right.$ y = 0 , z 0 1 0 1 经过初等行变换可得 0 1 1 $\left (\begin{matrix} y\\ y\\ z\end{matrix} ) \right.$ = 0 0 0 $(\begin{matrix} 0\\ 0\\ 10\end{matrix} )$ ，得到 x+z=0 $y+z=0$，令 $z=t_2$ 则x $=-t_1$， . $y=-t$，所以特征向量为k $\left (\begin{matrix} -1\\ -1\\ 1\end{matrix} ) \right.$ ，k 为任意非零常数，所以选项C错误。

步骤 4：验证选项D
验证选项D，即 $\left (\begin{matrix} 2& -1& 2\\ 5& -3& 3\\ -1& 0& -2\end{matrix} ) \right.$ 1 = $\left (\begin{matrix} 2-1-2\\ 5-3-3\\ -1+0+2\end{matrix} ) \right.$ = 1 -1 $\left (\begin{matrix} -1\\ -1\\ 1\end{matrix} ) \right.$ ，选项D正确。