21.设f(x)在f(x)上二阶可导，且f(x),证明：至少f(x)，使得f(x).

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用及构造辅助函数的能力。关键在于通过已知条件多次应用罗尔定理，结合导数运算构造合适的函数，将目标方程转化为导数为零的形式。

解题思路：

1. 两次应用罗尔定理：利用$f(1)=f(2)=f(3)$，分别在区间$[1,2]$和$[2,3]$上找到一阶导数为零的点$a$和$b$。
2. 构造辅助函数：定义$F(x)=e^{-x}f'(x)$，利用其在区间$[a,b]$上满足罗尔定理的条件，进一步得到二阶导数与一阶导数的关系式。

破题关键：通过构造$F(x)$，将目标方程$f''(\beta)-f'(\beta)=0$转化为$F'(\beta)=0$，从而应用罗尔定理。

步骤1：应用罗尔定理找一阶导数零点

• 在区间$[1,2]$上：$f(x)$满足罗尔定理条件（连续、可导，且$f(1)=f(2)$），故存在$a \in (1,2)$，使得$f'(a)=0$。
• 在区间$[2,3]$上：同理，存在$b \in (2,3)$，使得$f'(b)=0$。

步骤2：构造辅助函数$F(x)$

定义函数$F(x)=e^{-x}f'(x)$，则：

• 连续性与可导性：$f'(x)$在$[1,3]$上可导，故$F(x)$在$[1,3]$上连续且可导。
• 端点函数值：$F(a)=e^{-a}f'(a)=0$，$F(b)=e^{-b}f'(b)=0$。

步骤3：对$F(x)$应用罗尔定理

在区间$[a,b]$上，$F(x)$满足罗尔定理条件，故存在$\beta \in (a,b) \subset (1,3)$，使得：
$F'(\beta) = e^{-\beta}(f''(\beta)-f'(\beta)) = 0.$
由于$e^{-\beta} \neq 0$，得：
$f''(\beta) - f'(\beta) = 0.$