)'int dfrac (1)({cos )^2x(sin )^2x}dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及三角恒等式的灵活运用以及基本积分公式的应用。

解题核心思路：
题目给出提示$1 = \cos^2 x + \sin^2 x$，需通过分子恒等变形将原积分拆分为更简单的形式。关键在于将分母$\cos^2 x \sin^2 x$转化为$\cos^2 x + \sin^2 x$的组合，从而拆分后分别积分。

破题关键点：

1. 分子替换：利用$1 = \cos^2 x + \sin^2 x$，将分子1替换为$\cos^2 x + \sin^2 x$。
2. 分式拆分：将分式拆分为$\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x}$，即$\csc^2 x + \sec^2 x$。
3. 直接积分：分别利用$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x$和$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$完成积分。

步骤1：分子恒等变形
根据提示$1 = \cos^2 x + \sin^2 x$，将原积分分子替换为$\cos^2 x + \sin^2 x$：
$\int \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx = \int \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx.$

步骤2：分式拆分
将分式拆分为两个分式之和：
$\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x + \sec^2 x.$

步骤3：分别积分
利用基本积分公式：
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x, \quad \int \sec^2 x \, dx = \tan x.$

步骤4：合并结果
将两部分积分结果相加并添加常数：
$\int (\csc^2 x + \sec^2 x) \, dx = -\cot x + \tan x + C.$