设随机变量 X 的分布密度 f(x)，分布函数 F(x)，f(x) 为关于 y 轴对称，则有()A. F(-a)= 1 - F(a)B. F(-a)= (1)/(2) - F(a)C. F(-a)= F(a)D. F(-a)= 2F(a)- 1

考查要点：本题主要考查对称分布下分布函数的性质。关键在于理解密度函数关于y轴对称时，随机变量的分布特性如何反映到分布函数上。

解题核心思路：

1. 对称性转化：密度函数$f(x)$关于y轴对称，即$f(-x) = f(x)$，说明随机变量$X$与$-X$同分布。
2. 概率关系推导：利用对称性，将$F(-a) = P(X \leq -a)$转化为与$F(a)$相关联的概率表达式。
3. 关键结论：通过概率的互补关系，得出$F(-a) = 1 - F(a)$。

步骤1：理解对称性对分布函数的影响
由于$f(x)$关于y轴对称，即$f(-x) = f(x)$，因此$X$与$-X$具有相同的分布。
由此可得：
$P(X \leq -a) = P(-X \geq a).$

步骤2：利用同分布性质简化概率
因为$X$与$-X$同分布，$P(-X \geq a) = P(X \geq a)$。
而$P(X \geq a)$可表示为：
$P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a) = 1 - F(a).$

步骤3：联立关系式
将上述结果代入原式，得：
$F(-a) = P(X \leq -a) = P(X \geq a) = 1 - F(a).$

验证其他选项：

• 选项B：当$a=0$时，$F(0)=0.5$，但$\frac{1}{2} - F(0) = 0 \neq F(0)$，矛盾。
• 选项C：若$F(-a)=F(a)$，则$F(a) = 1 - F(a)$，即$F(a)=0.5$，仅在$a=0$时成立，不普遍。
• 选项D：当$a=0$时，$2F(0)-1=0 \neq F(0)$，矛盾。