题目
例3 求齐次线性方程组-|||- ) 3(x)_(1)+5(x)_(2)+6(x)_(3)-4(x)_(4)=0 (x)_(1)+2(x)_(2)+4(x)_(3)-3(x)_(4)=0 4(x)_(1)+5(x)_(2)-2(x)_ .-|||-的基础解系与通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵
首先，将方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵，以便于求解基础解系。系数矩阵为：
$$
A = \left (\begin{matrix} 3& 5& 6& -4\\ 1& 2& 4& -3\\ 4& 5& -2& 3\\ 3& 8& 24& -19\end{matrix} ) \right.
$$
通过初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵：
$$
\left (\begin{matrix} 1& 2& 4& -3\\ 3& 5& 6& -4\\ 4& 5& -2& 3\\ 3& 8& 24& -19\end{matrix} ) \right.
$$
${r}_{1}\rightarrow {r}_{2}$ 1 2 4 -3 $(124$ -3 $\dfrac {{r}_{2}+(-3){r}_{1}}{{r}_{3}+(-4){r}_{1}}$ 0 -3 .-18 15 ${r}_{4}+2{r}_{2}$ 0 $0\quad 0$ 0 0 -1 .-6 5 .${r}_{3}+(-3){r}_{2}$ 0 1 6 -5 ${r}_{4}+(-3){r}_{1}$ 0 2 12 .-10 .$-{r}_{2}$ 0 0 0 0 (1 0 -8 7 ${r}_{1}+(-2){r}_{2}$ |0 1 6 -5 0 0 0 0 0 0 0 0
步骤 2：确定自由未知量
选$x_3$和$x_4$为自由未知量，分别取$(\begin{matrix} {x}_{3}\\ {x}_{4}\end{matrix} )=(\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ),(\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} )$，代入行阶梯形矩阵，求解基础解系。
步骤 3：求解基础解系
代入自由未知量，求解基础解系：
$$
{\xi }_{1} = \left (\begin{matrix} 8\\ -6\\ 1\\ 0\end{matrix} ) \right.
$$
$$
{\xi }_{2} = \left (\begin{matrix} -7\\ 5\\ 0\\ 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 4：求解通解
通解为：
$$
x = k_1{\xi }_{1} + k_2{\xi }_{2}
$$
首先，将方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵，以便于求解基础解系。系数矩阵为：
$$
A = \left (\begin{matrix} 3& 5& 6& -4\\ 1& 2& 4& -3\\ 4& 5& -2& 3\\ 3& 8& 24& -19\end{matrix} ) \right.
$$
通过初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵：
$$
\left (\begin{matrix} 1& 2& 4& -3\\ 3& 5& 6& -4\\ 4& 5& -2& 3\\ 3& 8& 24& -19\end{matrix} ) \right.
$$
${r}_{1}\rightarrow {r}_{2}$ 1 2 4 -3 $(124$ -3 $\dfrac {{r}_{2}+(-3){r}_{1}}{{r}_{3}+(-4){r}_{1}}$ 0 -3 .-18 15 ${r}_{4}+2{r}_{2}$ 0 $0\quad 0$ 0 0 -1 .-6 5 .${r}_{3}+(-3){r}_{2}$ 0 1 6 -5 ${r}_{4}+(-3){r}_{1}$ 0 2 12 .-10 .$-{r}_{2}$ 0 0 0 0 (1 0 -8 7 ${r}_{1}+(-2){r}_{2}$ |0 1 6 -5 0 0 0 0 0 0 0 0
步骤 2：确定自由未知量
选$x_3$和$x_4$为自由未知量，分别取$(\begin{matrix} {x}_{3}\\ {x}_{4}\end{matrix} )=(\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ),(\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} )$，代入行阶梯形矩阵，求解基础解系。
步骤 3：求解基础解系
代入自由未知量，求解基础解系：
$$
{\xi }_{1} = \left (\begin{matrix} 8\\ -6\\ 1\\ 0\end{matrix} ) \right.
$$
$$
{\xi }_{2} = \left (\begin{matrix} -7\\ 5\\ 0\\ 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 4：求解通解
通解为：
$$
x = k_1{\xi }_{1} + k_2{\xi }_{2}
$$