(用拉格朗日乘数法求解)求周长为2p，且对角线最短的矩形的面积.

本题考查拉格朗日乘数法在求条件极值问题中的应用。解题思路是先根据题目条件建立目标函数和约束条件，然后构造拉格朗日函数，通过求拉格朗日函数的偏导数并令其为零，得到方程组，解方程组求出可能的极值点，最后根据实际问题判断该点是否为最值点并求出相应的值。

设矩形长为 $y$，宽为 $x$，已知周长为 $2p$，根据矩形周长公式可得约束条件 $2(x + y) = 2p$，即 $x + y = p$。
矩形的对角线长度 $d = \sqrt{x^2 + y^2}$，我们的目标是求对角线最短时矩形的面积，也就是要最小化 $d$。为了方便计算，由于 $d$ 与 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 同时取最值，所以我们可以转化为最小化 $f(x,y)=\sqrt{x^2 + y^2}$。
构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = \sqrt{x^2 + y^2} + \lambda(p - x - y)$。
接下来求拉格朗日函数的偏导数：

• 对 $x$ 求偏导数：
  根据求导公式 $(\sqrt{u})^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt{u}}$，对于 $L(x, y, \lambda)$ 中 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 关于 $x$ 求导，令 $u = x^2 + y^2$，则 $u^\prime = 2x$，所以 $\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2 + y^2}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，$\frac{\partial}{\partial x}\lambda(p - x - y)=-\lambda$，则 $\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda$。
  令 $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$，即 $\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda = 0$。
• 对 $y$ 求偏导数：
  同理，$\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{x^2 + y^2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2 + y^2}}=\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，$\frac{\partial}{\partial y}\lambda(p - x - y)=-\lambda$，则 $\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda$。
  令 $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$，即 $\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda = 0$。
• 对 $\lambda$ 求偏导数：
  $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = p - x - y$，令 $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$，即 $p - x - y = 0$。

得到方程组 $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = p - x - y = 0 \end{cases}$。
由前两个方程 $\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda = 0$ 和 $\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \lambda = 0$ 可得 $\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，因为分母 $\sqrt{x^2 + y^2}\neq0$，所以 $x = y$。
将 $x = y$ 代入约束条件 $x + y = p$，可得 $x + x = p$，即 $2x = p$，解得 $x = \frac{p}{2}$，那么 $y = \frac{p}{2}$。
此时矩形面积为 $S = xy = \frac{p}{2} \times \frac{p}{2} = \frac{p^2}{4}$。