int dfrac (1+2{x)^2}({x)^2(1+(x)^2})dx_____.

考查要点：本题主要考查分式积分的计算，特别是通过部分分式分解将复杂分式转化为简单分式的和，进而逐项积分的能力。

解题核心思路：
观察到分母为$x^2(1+x^2)$，分子为$1+2x^2$，可通过分子拆分将原分式分解为$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2}$的和，从而简化积分过程。

破题关键点：

1. 分子重组：将分子$1+2x^2$拆分为$(1+x^2)+x^2$，与分母形成可分离的结构。
2. 分式分解：通过拆分后的分子，将原分式分解为两个简单分式的和，分别对应基本积分公式。

将被积函数$\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}$进行拆分：

1. 分子拆分：
   $1 + 2x^2 = (1 + x^2) + x^2$

2. 分式分解：
   $\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{(1+x^2) + x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{1+x^2}{x^2(1+x^2)} + \frac{x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2}$

3. 逐项积分：

   • $\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C_1$
   • $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C_2$

4. 合并结果：
   $\int \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} \, dx = -\frac{1}{x} + \arctan x + C$