题目
设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
题目解答
答案
∵曲边梯形的面积为：S=∫t1f(x)dx，旋转体的体积为：V=π∫t1f2(x)dx，则由题可知：V=πtS，即：π∫t1f2(x)dx=πt∫t1f(x)dx，化简为：∫t1f2(x)dx=t∫t1f(x)dx，上式两边对t同时求导，得：f2(t)=∫t1f(x)dx+tf(t)，①，①式两边继续求导，得：2f(t)f′(t)=f(t)+tf′(t)+f(t)，化简可得(2f(t)−t)f′(t)=2f(t)而：y=f(t)继续化简得：dtdy+12yt=1，这是一阶线性微分方程,其中：P(y)=12y,Q(y)=1，解之得：t=c⋅y−12+23y，其中C为待定常数在①式中令t=1,则：f2(1)=0+f(1)，而f(x)>0，∴f(1)=1代入t=cy−12+23y,得：c=13，∴t=13(1y√+2y)，所以该曲线方程为：2y+1y√−3x=0.
解析
步骤 1：计算曲边梯形的面积
曲边梯形的面积为：$S = \int_{1}^{t} f(x) \, dx$。
步骤 2：计算旋转体的体积
旋转体的体积为：$V = \pi \int_{1}^{t} f^2(x) \, dx$。
步骤 3：根据题意建立方程
根据题意，旋转体的体积是曲边梯形面积的$\pi t$倍，即：$V = \pi t S$。代入体积和面积的表达式，得到：$\pi \int_{1}^{t} f^2(x) \, dx = \pi t \int_{1}^{t} f(x) \, dx$。
步骤 4：化简方程
化简得到：$\int_{1}^{t} f^2(x) \, dx = t \int_{1}^{t} f(x) \, dx$。
步骤 5：对t求导
对上式两边同时对t求导，得到：$f^2(t) = \int_{1}^{t} f(x) \, dx + t f(t)$。
步骤 6：再次对t求导
对上式两边继续求导，得到：$2 f(t) f'(t) = f(t) + t f'(t) + f(t)$，化简得到：$(2 f(t) - t) f'(t) = 2 f(t)$。
步骤 7：解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，其中$P(y) = \frac{1}{2y}$，$Q(y) = 1$。解之得：$t = c \cdot y^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} y$，其中C为待定常数。
步骤 8：确定常数C
在上式中令$t = 1$，则：$f^2(1) = 0 + f(1)$，而$f(x) > 0$，所以$f(1) = 1$。代入$t = c \cdot y^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} y$，得：$c = \frac{1}{3}$。所以$t = \frac{1}{3} (y^{-\frac{1}{2}} + 2y)$。
步骤 9：得到曲线方程
所以该曲线方程为：$2y + y^{-\frac{1}{2}} - 3x = 0$。
曲边梯形的面积为：$S = \int_{1}^{t} f(x) \, dx$。
步骤 2：计算旋转体的体积
旋转体的体积为：$V = \pi \int_{1}^{t} f^2(x) \, dx$。
步骤 3：根据题意建立方程
根据题意，旋转体的体积是曲边梯形面积的$\pi t$倍，即：$V = \pi t S$。代入体积和面积的表达式，得到：$\pi \int_{1}^{t} f^2(x) \, dx = \pi t \int_{1}^{t} f(x) \, dx$。
步骤 4：化简方程
化简得到：$\int_{1}^{t} f^2(x) \, dx = t \int_{1}^{t} f(x) \, dx$。
步骤 5：对t求导
对上式两边同时对t求导，得到：$f^2(t) = \int_{1}^{t} f(x) \, dx + t f(t)$。
步骤 6：再次对t求导
对上式两边继续求导，得到：$2 f(t) f'(t) = f(t) + t f'(t) + f(t)$，化简得到：$(2 f(t) - t) f'(t) = 2 f(t)$。
步骤 7：解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，其中$P(y) = \frac{1}{2y}$，$Q(y) = 1$。解之得：$t = c \cdot y^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} y$，其中C为待定常数。
步骤 8：确定常数C
在上式中令$t = 1$，则：$f^2(1) = 0 + f(1)$，而$f(x) > 0$，所以$f(1) = 1$。代入$t = c \cdot y^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} y$，得：$c = \frac{1}{3}$。所以$t = \frac{1}{3} (y^{-\frac{1}{2}} + 2y)$。
步骤 9：得到曲线方程
所以该曲线方程为：$2y + y^{-\frac{1}{2}} - 3x = 0$。