题目
300已知α1,a2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,那么a1-a2, 3α_1-2α_21/3(a_1+2a_2) , 1/2(a_1+a_2)中,仍是线性方程组Ax =b特解的共有(A.)4个.(B.)3个.(C.)2个.(D.)1个.
300已知α1,a2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,那么a1-a2, 3α_1-2α_21/3(a_1+2a_2) , 1/2(a_1+a_2)中,仍是线性方程组Ax =b特解的共有(
A.)4个.(
B.)3个.(
C.)2个.(
D.)1个.
A.)4个.(
B.)3个.(
C.)2个.(
D.)1个.
题目解答
答案
300【答案】B【分析】由于 Aa_1=b , Aα_2=b ,那么A(3α_1-2α_2)=3Aα_1-2Aα_2=3b-2b=b ,A[1/3(α_1+2α_2)]=1/3Aα_1+2/3Aα_2=1/3b+2/3b=b A[1/2(α_1+α_2)]=1/2Aα_1+1/2Aα_2=1/2b+1/2b=b可知3a1-2a2,÷(α1+2a2),÷(α1+a2)均是Ax=b的解.而 A(a_1-a_2)=Aa_1-Aa_2=b-b=0 ,所以 α_1-α 2是Ax=0的解,不是Ax=b的解故应选(B).
解析
步骤 1：理解非齐次线性方程组的解的性质
非齐次线性方程组Ax=b的解具有以下性质：如果α1和α2是Ax=b的两个解，那么它们的线性组合也是Ax=b的解，只要系数之和为1。此外，α1-α2是齐次线性方程组Ax=0的解。
步骤 2：验证每个选项是否为Ax=b的解
- 对于3α_1-2α_2，我们有A(3α_1-2α_2)=3Aα_1-2Aα_2=3b-2b=b，所以3α_1-2α_2是Ax=b的解。
- 对于1/3(α_1+2α_2)，我们有A[1/3(α_1+2α_2)]=1/3Aα_1+2/3Aα_2=1/3b+2/3b=b，所以1/3(α_1+2α_2)是Ax=b的解。
- 对于1/2(α_1+α_2)，我们有A[1/2(α_1+α_2)]=1/2Aα_1+1/2Aα_2=1/2b+1/2b=b，所以1/2(α_1+α_2)是Ax=b的解。
- 对于α_1-α_2，我们有A(α_1-α_2)=Aα_1-Aα_2=b-b=0，所以α_1-α_2是Ax=0的解，不是Ax=b的解。
步骤 3：总结
根据上述分析，3α_1-2α_2，1/3(α_1+2α_2)，1/2(α_1+α_2)是Ax=b的解，而α_1-α_2不是Ax=b的解。
非齐次线性方程组Ax=b的解具有以下性质：如果α1和α2是Ax=b的两个解，那么它们的线性组合也是Ax=b的解，只要系数之和为1。此外，α1-α2是齐次线性方程组Ax=0的解。
步骤 2：验证每个选项是否为Ax=b的解
- 对于3α_1-2α_2，我们有A(3α_1-2α_2)=3Aα_1-2Aα_2=3b-2b=b，所以3α_1-2α_2是Ax=b的解。
- 对于1/3(α_1+2α_2)，我们有A[1/3(α_1+2α_2)]=1/3Aα_1+2/3Aα_2=1/3b+2/3b=b，所以1/3(α_1+2α_2)是Ax=b的解。
- 对于1/2(α_1+α_2)，我们有A[1/2(α_1+α_2)]=1/2Aα_1+1/2Aα_2=1/2b+1/2b=b，所以1/2(α_1+α_2)是Ax=b的解。
- 对于α_1-α_2，我们有A(α_1-α_2)=Aα_1-Aα_2=b-b=0，所以α_1-α_2是Ax=0的解，不是Ax=b的解。
步骤 3：总结
根据上述分析，3α_1-2α_2，1/3(α_1+2α_2)，1/2(α_1+α_2)是Ax=b的解，而α_1-α_2不是Ax=b的解。