题目
以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°．D-|||-C E、-|||-C-|||-D-|||-i E B A ō -B-|||-图1 图2（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD= ____ ；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD= ____ ；②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=(1)/(3)∠AOE，求此时∠BOD的度数．
以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD= ____ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD= ____ ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE，求此时∠BOD的度数．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD= ____ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD= ____ ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE，求此时∠BOD的度数．
题目解答
答案
解：（1）由题意得∠BOD=90°，
∵∠BOC=40°，
∴∠COD=90°-40°=50°，
故答案为50°；
（2）①∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD=90°-70°=20°，
故答案为20°；
②∵∠COD=∠BOC-∠BOD，∠COD+∠COE=90°，
∴∠BOC-∠BOD+∠COE=90°，
∴∠COE-∠BOD=90°-∠BOC，
∵∠BOC=40°，
∴∠COE-∠BOD=90°-40°=50°，
即∠BOD与∠COE数量关系为：∠COE-∠BOD=50°．
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD=∠BOC-∠BOD，而∠BOC=40°，
∴∠COD=40°-∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠EOD=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOD，
又∵$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$，
∴$40°-∠BOD=\frac{1}{3}（{90°-∠BOD}）$，
∴∠BOD=15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD=∠BOD-∠BOC，而∠BOC=40°，
∴∠COD=∠BOD-40°，
∵∠AOE+∠EOD-∠BOD=180°，∠EOD=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOD，
又∵$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$，
∴$∠BOD-40°=\frac{1}{3}（{90°-∠BOD}）$，
∴∠BOD=52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
∵∠BOC=40°，
∴∠COD=90°-40°=50°，
故答案为50°；
（2）①∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD=90°-70°=20°，
故答案为20°；
②∵∠COD=∠BOC-∠BOD，∠COD+∠COE=90°，
∴∠BOC-∠BOD+∠COE=90°，
∴∠COE-∠BOD=90°-∠BOC，
∵∠BOC=40°，
∴∠COE-∠BOD=90°-40°=50°，
即∠BOD与∠COE数量关系为：∠COE-∠BOD=50°．
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD=∠BOC-∠BOD，而∠BOC=40°，
∴∠COD=40°-∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠EOD=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOD，
又∵$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$，
∴$40°-∠BOD=\frac{1}{3}（{90°-∠BOD}）$，
∴∠BOD=15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD=∠BOD-∠BOC，而∠BOC=40°，
∴∠COD=∠BOD-40°，
∵∠AOE+∠EOD-∠BOD=180°，∠EOD=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOD，
又∵$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$，
∴$∠BOD-40°=\frac{1}{3}（{90°-∠BOD}）$，
∴∠BOD=52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
解析
步骤 1：计算∠COD的度数（图1）
根据题意，∠BOC=40°，∠DOE=90°，OE在射线OA上，因此∠BOD=90°。所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-40°=50°。
步骤 2：计算∠COD的度数（图2，OE平分∠AOC）
∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=40°，所以∠AOC=140°。OE平分∠AOC，所以∠COE=70°。∠COD=∠DOE-∠COE=90°-70°=20°。
步骤 3：确定∠BOD与∠COE的数量关系
∠COD=∠BOC-∠BOD，∠COD+∠COE=90°，所以∠BOC-∠BOD+∠COE=90°，即∠COE-∠BOD=90°-∠BOC=50°。
步骤 4：计算∠BOD的度数（∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE）
当∠COD在∠BOC的内部时，∠COD=40°-∠BOD，∠AOE=90°-∠BOD，所以$40°-∠BOD=\frac{1}{3}（90°-∠BOD）$，解得∠BOD=15°。
当∠COD在∠BOC的外部时，∠COD=∠BOD-40°，∠AOE=90°-∠BOD，所以$∠BOD-40°=\frac{1}{3}（90°-∠BOD）$，解得∠BOD=52.5°。
根据题意，∠BOC=40°，∠DOE=90°，OE在射线OA上，因此∠BOD=90°。所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-40°=50°。
步骤 2：计算∠COD的度数（图2，OE平分∠AOC）
∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=40°，所以∠AOC=140°。OE平分∠AOC，所以∠COE=70°。∠COD=∠DOE-∠COE=90°-70°=20°。
步骤 3：确定∠BOD与∠COE的数量关系
∠COD=∠BOC-∠BOD，∠COD+∠COE=90°，所以∠BOC-∠BOD+∠COE=90°，即∠COE-∠BOD=90°-∠BOC=50°。
步骤 4：计算∠BOD的度数（∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE）
当∠COD在∠BOC的内部时，∠COD=40°-∠BOD，∠AOE=90°-∠BOD，所以$40°-∠BOD=\frac{1}{3}（90°-∠BOD）$，解得∠BOD=15°。
当∠COD在∠BOC的外部时，∠COD=∠BOD-40°，∠AOE=90°-∠BOD，所以$∠BOD-40°=\frac{1}{3}（90°-∠BOD）$，解得∠BOD=52.5°。