题目

3、设变量X在[0,2]上服从均匀分布，Y=2X+1的概率密度为f(y)，则f(3)=____.

题目解答

答案

为了找到 $ Y = 2X + 1 $ 的概率密度函数 $ f(y) $ 在 $ y = 3 $ 处的值，我们需要遵循以下步骤： 1. **确定 $ X $ 的概率密度函数：** 由于 $ X $ 在区间 $[0, 2]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数 $ f_X(x) $ 为： \[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{如果 } 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 2. **找到 $ Y $ 的概率密度函数：** 我们使用随机变量变换的方法。如果 $ Y = g(X) $ 且 $ g $ 是可逆函数，那么 $ Y $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $ 可以表示为： \[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| \] 这里， $ g(x) = 2x + 1 $，所以逆函数 $ g^{-1}(y) $ 为： \[ g^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \] $ g^{-1}(y) $ 关于 $ y $ 的导数为： \[ \frac{d}{dy} g^{-1}(y) = \frac{1}{2} \] 因此， $ Y $ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - 1}{2} \right) \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} f_X\left( \frac{y - 1}{2} \right) \] 由于 $ f_X(x) = \frac{1}{2} $ 对于 $ 0 \leq x \leq 2 $，我们有： \[ f_X\left( \frac{y - 1}{2} \right) = \frac{1}{2} \quad \text{如果 } 0 \leq \frac{y - 1}{2} \leq 2 \] 简化不等式 $ 0 \leq \frac{y - 1}{2} \leq 2 $： \[ 0 \leq y - 1 \leq 4 \implies 1 \leq y \leq 5 \] 因此， $ Y $ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} & \text{如果 } 1 \leq y \leq 5 \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 3. **在 $ y = 3 $ 处评估 $ f_Y(y) $：** 由于 $ 3 $ 在区间 $[1, 5]$ 内，我们有： \[ f_Y(3) = \frac{1}{4} \] 因此， $ f(3) $ 的值是 $\boxed{\frac{1}{4}}$。

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率密度函数以及随机变量函数的概率密度求解方法。

解题核心思路：

确定原变量X的概率密度函数：由于X在区间[0,2]上服从均匀分布，其概率密度函数为常数$\frac{1}{2}$。
利用变量变换法求Y的概率密度函数：通过求逆函数和导数，结合原变量的密度函数，推导出Y的密度函数。
确定Y的取值范围：根据X的取值范围，计算Y的可能取值区间，从而确定密度函数的有效范围。

破题关键点：

正确应用变量变换公式：$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$。
准确计算逆函数及其导数：Y=2X+1的逆函数为$g^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$，导数为$\frac{1}{2}$。
验证Y的取值范围：当X∈[0,2]时，Y∈[1,5]，因此密度函数仅在该区间内非零。

步骤1：确定X的概率密度函数

X在区间[0,2]上服从均匀分布，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{若 } 0 \leq x \leq 2, \\0 & \text{其他情况}.\end{cases}$

步骤2：求Y的概率密度函数

Y与X的关系为$Y = 2X + 1$，其逆函数为：
$g^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2}.$
根据变量变换公式：
$f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - 1}{2} \right) \left| \frac{d}{dy} \left( \frac{y - 1}{2} \right) \right| = f_X\left( \frac{y - 1}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}.$

步骤3：确定Y的取值范围

当X∈[0,2]时，Y的取值范围为：
$0 \leq X \leq 2 \implies 1 \leq Y \leq 5.$
因此，当$1 \leq y \leq 5$时，$\frac{y - 1}{2} \in [0, 2]$，此时$f_X\left( \frac{y - 1}{2} \right) = \frac{1}{2}$，代入得：
$f_Y(y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$
其他情况$f_Y(y) = 0$。

步骤4：计算f(3)

由于$3 \in [1, 5]$，故：
$f(3) = \frac{1}{4}.$