题目

填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。40. (2.0分) xoz坐标面上的双曲线绕z轴旋转一周，所得的选择曲面是（），绕x轴旋转一周，所得的旋转曲面是（）。第1空第2空

填空题（共15题，30.0分） 题型说明：共15题，每题2分。 40. (2.0分) xoz坐标面上的双曲线绕z轴旋转一周，所得的选择曲面是（），绕x轴旋转一周，所得的旋转曲面是（）。 第1空 第2空

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要理解当xoz坐标面上的双曲线绕z轴和x轴旋转时，所生成的曲面。让我们从考虑xoz坐标面上的双曲线方程开始。一个一般的双曲线可以写为： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \] ### 绕z轴旋转 当这个双曲线绕z轴旋转时，双曲线上每个点$(x, 0, z)$将描绘出一个半径为$|x|$的圆，这个圆位于与z轴垂直的平面中。在三维空间中，这个旋转曲面的方程可以通过将$x^2$替换为$x^2 + y^2$来获得。因此，方程变为： \[ \frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \] 这是单叶双曲面的方程。 ### 绕x轴旋转 当这个双曲线绕x轴旋转时，双曲线上每个点$(x, 0, z)$将描绘出一个半径为$|z|$的圆，这个圆位于与x轴垂直的平面中。在三维空间中，这个旋转曲面的方程可以通过将$z^2$替换为$y^2 + z^2$来获得。因此，方程变为： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2 + z^2}{c^2} = 1 \] 这是双叶双曲面的方程。 因此，答案是： 第1空：单叶双曲面 第2空：双叶双曲面 最终答案是： \[ \boxed{\text{单叶双曲面, 双叶双曲面}} \]

解析

本题考查旋转曲面的生成与识别。关键在于理解双曲线绕不同轴旋转后方程的变化规律：

  1. 绕z轴旋转：原双曲线的$x$坐标扩展为圆的半径$\sqrt{x^2 + y^2}$，方程变为单叶双曲面。
  2. 绕x轴旋转：原双曲线的$z$坐标扩展为圆的半径$\sqrt{y^2 + z^2}$，方程变为双叶双曲面。

绕z轴旋转

  1. 原双曲线方程：在xoz平面上，双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$。
  2. 旋转后方程：绕z轴旋转时，$x$扩展为$\sqrt{x^2 + y^2}$，代入原方程得：
    $\frac{x^2 + y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
  3. 曲面类型：此方程对应单叶双曲面。

绕x轴旋转

  1. 原双曲线方程：同上。
  2. 旋转后方程：绕x轴旋转时，$z$扩展为$\sqrt{y^2 + z^2}$，代入原方程得：
    $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2 + z^2}{c^2} = 1$
  3. 曲面类型：此方程对应双叶双曲面。