1.设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布。现对X进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率。

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算和二项分布的应用，需要结合独立事件的概率进行综合分析。

解题核心思路：

1. 确定单次观测值大于3的概率：利用均匀分布的性质，计算区间长度比例。
2. 建立二项分布模型：三次独立观测中，将“观测值大于3”视为成功事件，服从二项分布。
3. 计算至少两次成功的概率：通过二项分布的概率公式，分别计算恰好2次和3次成功的概率并求和。

破题关键点：

• 均匀分布的概率密度函数：明确区间长度与概率的关系。
• 独立重复试验的二项分布建模：正确识别试验次数和成功概率。
• 分类讨论“至少两次成功”：拆分为两种互斥事件分别计算后相加。

步骤1：计算单次观测值大于3的概率

随机变量$X$在区间$(2,5)$上服从均匀分布，概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 2 < x < 5, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
事件$A$表示“观测值大于3”，其概率为：
$P(A) = P(X > 3) = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} \, dx = \frac{2}{3}.$

步骤2：建立二项分布模型

三次独立观测中，设$Y$为事件$A$发生的次数，则$Y$服从参数为$n=3$、成功概率$p=\frac{2}{3}$的二项分布：
$Y \sim B\left(3, \frac{2}{3}\right).$

步骤3：计算至少两次成功的概率

“至少两次观测值大于3”即$P(Y \geq 2)$，需计算$P(Y=2)$和$P(Y=3)$并求和：

1. 恰好2次成功：
   $P(Y=2) = \binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^{1} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}.$
2. 恰好3次成功：
   $P(Y=3) = \binom{3}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 1 \times \frac{8}{27} = \frac{8}{27}.$
3. 总概率：
   $P(Y \geq 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}.$