8.计算下列极限：(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sqrt {x+1)-1}

(1) 首先，我们可以将 展开为 4x 的 Taylor 级数展开式：

然后，我们将  展开为 x 的泰勒级数展开式：

所以，可以化简为：

当 (x) 趋向于 0 时，高阶项的影响变得微乎其微，我们只需要考虑第一项 (4x)，因此极限为：

(2) 使用泰勒级数展开式，并且注意到 ，我们有：

当 (x) 趋向于 0 时，高阶项的影响变得微乎其微，我们只需要考虑第一项 ，因此极限为：

(3) 将  展开为泰勒级数：

化简后，我们得到：

取极限：

(4) 将 (1 - 4x) 展开为泰勒级数：

化简后，我们得到：

将这个展开式的形式代入极限，并且注意到 (x) 趋向于 0 时，高阶项的影响变得微乎其微，我们只需要考虑第一项 (1 - 4x)，因此极限为：

(5) 考虑 的极限：

然后，我们有：

(6) 将 (3x - 2) 和 (3x + 1) 分别展开为泰勒级数：

然后，我们可以得到：

根据自然对数的极限性质，我们有：

所以：

(7) 注意到当 (x) 趋向于无穷大时， 可以写成以下形式：

根据自然指数函数的极限性质，我们有：

所以：

(8) 注意到当 (t) 趋向于 0 时：

可以展开为 (x t) 的泰勒级数。

我们可以得到：

(9) 使用泰勒展开式将展开：

将这些展开式代入到极限中，我们得到：

(10) 将 展开为 的泰勒级数：

化简后，我们有：

因此，极限为：