1.单选题(4分) 设z=f(x,y)是由方程xyz+sqrt(x^2)+y^(2+z^2)=sqrt(2)确定，则在点(1,0,-1)处的dz=（）A. dx+dyB. dx+sqrt(2)dyC. sqrt(2)dx+sqrt(2)dyD. dx-sqrt(2)dy

本题考查隐函数求全微分的知识。解题思路是先对给定的方程两边求全微分，然后将点$(1,0,-1)$代入求出$dz$。

1. 对给定方程$xyz + \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \sqrt{2}$两边求全微分：
   • 根据全微分的四则运算法则$d(uv)=udv + vdu$，对$xyz$求全微分得：
     • $d(xyz)=xy dz+xz dy+yz dx$。
   • 根据复合函数求全微分法则$d(f(u)) = f^\prime(u)du$，对$\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$求全微分，令$u = x^{2}+y^{2}+z^{2}$，则$d(\sqrt{u})=\frac{1}{2\sqrt{u}}du$，所以$d(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(2x dx + 2y dy+2z dz)=\frac{x dx + y dy+z dz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$。
   • 方程右边$d(\sqrt{2}) = 0$。
   • 那么原方程两边求全微分后为：$xy dz+xz dy+yz dx+\frac{x dx + y dy+z dz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=0$。
2. 将点$(1,0,-1)$代入上式：
   • 把$x = 1$，$y = 0$，$z = -1$代入$xy dz+xz dy+yz dx+\frac{x dx + y dy+z dz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=0$中，得到：
     • $1\times0\times dz+1\times(-1) dy+0\times(-1) dx+\frac{1\times dx + 0\times dy+(-1) dz}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=0$。
     • 化简可得：$-dy+\frac{dx - dz}{\sqrt{2}} = 0$。
3. 求解$dz$：
   • 对$-dy+\frac{dx - dz}{\sqrt{2}} = 0$进行移项可得：$\frac{dx - dz}{\sqrt{2}}=dy$。
   • 两边同时乘以$\sqrt{2}$得：$dx - dz=\sqrt{2}dy$。
   • 进一步移项得到：$dz = dx-\sqrt{2}dy$。