题目

1.设A，B为随机事件，P(A)=0.3，P(B|A)=0.4，P(overline(A)|B)=0.5，求P(AB)及P(A+B).

1.设A，B为随机事件，P(A)=0.3，P(B|A)=0.4，$P(\overline{A}|B)=0.5$，求P(AB)及P(A+B).

题目解答

答案

1. **求 $P(AB)$** 由条件概率公式： \[ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \implies P(AB) = 0.4 \times 0.3 = 0.12 \] 2. **求 $P(B)$** 利用条件概率： \[ P(\overline{A}|B) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(B)} = 0.5 \implies P(\overline{A}B) = 0.5P(B) \] 由全概率公式： \[ P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.12 + 0.5P(B) \implies 0.5P(B) = 0.12 \implies P(B) = 0.24 \] 3. **求 $P(A+B)$** 应用概率加法公式： \[ P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.3 + 0.24 - 0.12 = 0.42 \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{l} P(AB) = 0.12 \\ P(A+B) = 0.42 \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的计算、全概率公式以及事件和的概率公式。
解题思路：

  1. 利用条件概率公式直接计算$P(AB)$；
  2. 通过条件概率和全概率公式建立方程求解$P(B)$；
  3. 应用加法公式计算$P(A+B)$。
    关键点：正确理解条件概率的定义，灵活分解事件$B$为$AB$和$\overline{A}B$两部分。

1. 求$P(AB)$

根据条件概率公式：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
代入已知$P(B|A)=0.4$和$P(A)=0.3$，得：
$P(AB) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$

2. 求$P(B)$

由条件概率公式：
$P(\overline{A}|B) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(B)} = 0.5$
得：
$P(\overline{A}B) = 0.5P(B)$
根据全概率公式，事件$B$可分解为$AB$和$\overline{A}B$：
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$
代入已知$P(AB)=0.12$和$P(\overline{A}B)=0.5P(B)$，得方程：
$P(B) = 0.12 + 0.5P(B)$
解得：
$0.5P(B) = 0.12 \implies P(B) = 0.24$

3. 求$P(A+B)$

根据加法公式：
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
代入$P(A)=0.3$，$P(B)=0.24$，$P(AB)=0.12$，得：
$P(A+B) = 0.3 + 0.24 - 0.12 = 0.42$