题目
24.据以往的经验,某种电器元件的寿命服从参数为 dfrac (1)(100) 的指数分布.现随机地取-|||-16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的-|||-概率.(备查数据: (1)(1)=0.8413;(1)(2)=0.9772; varphi (0.8)=0.7881 )
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X_i$ 表示第 $i$ 只电器元件的寿命，$i=1,2,\cdots,16$。根据题意，$X_i$ 独立同分布，且服从参数为 $\frac{1}{100}$ 的指数分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于 $X_i$ 服从参数为 $\frac{1}{100}$ 的指数分布，其期望 $E(X_i) = 100$，方差 $D(X_i) = 100^2$。
步骤 3：求总和的期望和方差
设 $S = \sum_{i=1}^{16} X_i$，则 $S$ 的期望 $E(S) = \sum_{i=1}^{16} E(X_i) = 16 \times 100 = 1600$，方差 $D(S) = \sum_{i=1}^{16} D(X_i) = 16 \times 100^2 = 160000$。因此，$S$ 的标准差 $\sqrt{D(S)} = \sqrt{160000} = 400$。
步骤 4：计算概率
所求的概率为 $P(S > 1920)$。由于 $S$ 的分布可以近似为正态分布，我们使用正态分布的性质来计算这个概率。$P(S > 1920) = P\left(\frac{S - E(S)}{\sqrt{D(S)}} > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P\left(Z > \frac{320}{400}\right) = P(Z > 0.8)$，其中 $Z$ 为标准正态分布的随机变量。根据备查数据，$P(Z > 0.8) = 1 - \Phi(0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$。
设 $X_i$ 表示第 $i$ 只电器元件的寿命，$i=1,2,\cdots,16$。根据题意，$X_i$ 独立同分布，且服从参数为 $\frac{1}{100}$ 的指数分布。
步骤 2：计算期望和方差
由于 $X_i$ 服从参数为 $\frac{1}{100}$ 的指数分布，其期望 $E(X_i) = 100$，方差 $D(X_i) = 100^2$。
步骤 3：求总和的期望和方差
设 $S = \sum_{i=1}^{16} X_i$，则 $S$ 的期望 $E(S) = \sum_{i=1}^{16} E(X_i) = 16 \times 100 = 1600$，方差 $D(S) = \sum_{i=1}^{16} D(X_i) = 16 \times 100^2 = 160000$。因此，$S$ 的标准差 $\sqrt{D(S)} = \sqrt{160000} = 400$。
步骤 4：计算概率
所求的概率为 $P(S > 1920)$。由于 $S$ 的分布可以近似为正态分布，我们使用正态分布的性质来计算这个概率。$P(S > 1920) = P\left(\frac{S - E(S)}{\sqrt{D(S)}} > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P\left(Z > \frac{320}{400}\right) = P(Z > 0.8)$，其中 $Z$ 为标准正态分布的随机变量。根据备查数据，$P(Z > 0.8) = 1 - \Phi(0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$。