题目
1.求下列微分方程的通解:-|||-(10) +((x)^2-4x)dy=0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
原方程 $ydx+({x}^{2}-4x)dy=0$ 可以写成 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{4x - x^2}$ 的形式，这是通过将 $y$ 和 $dy$ 放在方程的一边，$x$ 和 $dx$ 放在另一边实现的。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边进行积分，得到 $\int \dfrac{dy}{y} = \int \dfrac{dx}{4x - x^2}$。左边的积分是 $\ln|y| + C_1$，右边的积分需要进行部分分式分解，即 $\dfrac{1}{4x - x^2} = \dfrac{1}{4x(1 - \frac{x}{4})} = \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4-x})$。因此，右边的积分是 $\dfrac{1}{4}(\ln|x| - \ln|4-x|) + C_2$。
步骤 3：合并常数并简化
将两边的积分结果合并，得到 $\ln|y| = \dfrac{1}{4}(\ln|x| - \ln|4-x|) + C$，其中 $C = C_2 - C_1$。进一步简化得到 $\ln|y| = \dfrac{1}{4}\ln|\dfrac{x}{4-x}| + C$。将等式两边的指数运算化简，得到 $y^4 = C \cdot \dfrac{x}{4-x}$，其中 $C = e^{4C}$。
原方程 $ydx+({x}^{2}-4x)dy=0$ 可以写成 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{4x - x^2}$ 的形式，这是通过将 $y$ 和 $dy$ 放在方程的一边，$x$ 和 $dx$ 放在另一边实现的。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边进行积分，得到 $\int \dfrac{dy}{y} = \int \dfrac{dx}{4x - x^2}$。左边的积分是 $\ln|y| + C_1$，右边的积分需要进行部分分式分解，即 $\dfrac{1}{4x - x^2} = \dfrac{1}{4x(1 - \frac{x}{4})} = \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4-x})$。因此，右边的积分是 $\dfrac{1}{4}(\ln|x| - \ln|4-x|) + C_2$。
步骤 3：合并常数并简化
将两边的积分结果合并，得到 $\ln|y| = \dfrac{1}{4}(\ln|x| - \ln|4-x|) + C$，其中 $C = C_2 - C_1$。进一步简化得到 $\ln|y| = \dfrac{1}{4}\ln|\dfrac{x}{4-x}| + C$。将等式两边的指数运算化简，得到 $y^4 = C \cdot \dfrac{x}{4-x}$，其中 $C = e^{4C}$。