(8) lim _(xarrow 0)dfrac (1-cos 2x)(xln (1+x)) ;

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及三角函数的恒等变形、等价无穷小替换以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 分子化简：利用三角恒等式将$1 - \cos 2x$转化为$2\sin^2 x$，简化表达式。
2. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$，将分子和分母中的高阶无穷小替换为等价形式，快速求出极限。
3. 洛必达法则（备选方法）：若直接替换后仍为未定式，可对分子分母分别求导，多次应用法则直至化简。

破题关键点：

• 识别分子中的三角恒等式，将复杂形式转化为更易处理的平方形式。
• 灵活应用等价无穷小替换，避免复杂的泰勒展开或多次求导。

步骤1：化简分子
利用三角恒等式$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$，得：
$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x.$

步骤2：替换等价无穷小
当$x \to 0$时：

• $\sin x \sim x$，因此$\sin^2 x \sim x^2$；
• $\ln(1+x) \sim x$。

原式可近似为：
$\frac{2x^2}{x \cdot x} = \frac{2x^2}{x^2} = 2.$

步骤3：验证极限结果
通过等价无穷小替换后，分子和分母的高阶项在$x \to 0$时可忽略，最终极限值为$2$。