题目
在一 半径 R 的无限长均匀带电的圆柱体内，有一半径为同轴无限长圆柱形空腔如图4所示，已知电荷体密度为，求空腔内外任一点的电场强度E的分布。
在一 半径 R 的无限长均匀带电的圆柱体内，有一半径为
同轴无限长圆柱形空腔如图4所示，已知电荷体密度为
，求空腔内外任一点的电场强度E的分布。
题目解答
答案
时内部没有电荷所以
解得E=0，
时
解得
，当
时面包围了所有的电荷
解得
，所以空腔内外任一点的电场强度 E 的分布为，时
，时，时。
解析
步骤 1：确定电场强度在空腔内部的分布
在空腔内部，即$r < \dfrac{R}{2}$时，由于空腔内部没有电荷，根据高斯定理，通过任意闭合曲面的电通量为零，因此电场强度$E=0$。
步骤 2：确定电场强度在空腔和圆柱体之间的分布
在空腔和圆柱体之间，即$\dfrac{R}{2} < r < R$时，根据高斯定理，通过半径为$r$的圆柱形高斯面的电通量等于该面内包含的电荷量除以介电常数$\varepsilon_0$。电荷量为圆柱体的电荷密度$\rho$乘以圆柱体的体积减去空腔的体积，即$\rho \pi (r^2 - \dfrac{R^2}{4})h$。因此，电场强度$E$为$\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}(1 - \dfrac{R^2}{4r^2})$。
步骤 3：确定电场强度在圆柱体外部的分布
在圆柱体外部，即$r > R$时，根据高斯定理，通过半径为$r$的圆柱形高斯面的电通量等于该面内包含的电荷量除以介电常数$\varepsilon_0$。电荷量为圆柱体的电荷密度$\rho$乘以圆柱体的体积，即$\rho \pi (R^2 - \dfrac{R^2}{4})h$。因此，电场强度$E$为$\dfrac{3\rho R^2}{4\varepsilon_0 r^2}$。
在空腔内部，即$r < \dfrac{R}{2}$时，由于空腔内部没有电荷，根据高斯定理，通过任意闭合曲面的电通量为零，因此电场强度$E=0$。
步骤 2：确定电场强度在空腔和圆柱体之间的分布
在空腔和圆柱体之间，即$\dfrac{R}{2} < r < R$时，根据高斯定理，通过半径为$r$的圆柱形高斯面的电通量等于该面内包含的电荷量除以介电常数$\varepsilon_0$。电荷量为圆柱体的电荷密度$\rho$乘以圆柱体的体积减去空腔的体积，即$\rho \pi (r^2 - \dfrac{R^2}{4})h$。因此，电场强度$E$为$\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}(1 - \dfrac{R^2}{4r^2})$。
步骤 3：确定电场强度在圆柱体外部的分布
在圆柱体外部，即$r > R$时，根据高斯定理，通过半径为$r$的圆柱形高斯面的电通量等于该面内包含的电荷量除以介电常数$\varepsilon_0$。电荷量为圆柱体的电荷密度$\rho$乘以圆柱体的体积，即$\rho \pi (R^2 - \dfrac{R^2}{4})h$。因此，电场强度$E$为$\dfrac{3\rho R^2}{4\varepsilon_0 r^2}$。