题目
定积分(int )_(0)^dfrac (sqrt {3)(2)}arcsin xdx的值是A.(int )_(0)^dfrac (sqrt {3)(2)}arcsin xdxB.(int )_(0)^dfrac (sqrt {3)(2)}arcsin xdxC.(int )_(0)^dfrac (sqrt {3)(2)}arcsin xdxD.(int )_(0)^dfrac (sqrt {3)(2)}arcsin xdx
定积分
的值是
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
令
则
当
时,
换元得:
利用分部积分得
解析
步骤 1：换元
令$y=\arcsin x$，则$x=\sin y$。当$0\lt x\lt \dfrac {\sqrt {3}}{2}$时，$0\lt y\lt \dfrac {\pi }{3}$。
步骤 2：换元积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\arcsin xdx$变为$-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}yd\sin y$。
步骤 3：分部积分
利用分部积分公式，$-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}yd\sin y$变为$[y\sin y]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}\sin ydy$。
步骤 4：计算
$[y\sin y]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}\sin ydy$=$\dfrac {\pi }{3}\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2}-[-\cos y]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}$=$\dfrac {\sqrt {3}\pi }{6}+\dfrac {1}{2}-1$=$\dfrac {\sqrt {3}\pi }{6}-\dfrac {1}{2}$。
令$y=\arcsin x$，则$x=\sin y$。当$0\lt x\lt \dfrac {\sqrt {3}}{2}$时，$0\lt y\lt \dfrac {\pi }{3}$。
步骤 2：换元积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\arcsin xdx$变为$-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}yd\sin y$。
步骤 3：分部积分
利用分部积分公式，$-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}yd\sin y$变为$[y\sin y]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}\sin ydy$。
步骤 4：计算
$[y\sin y]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}-{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}\sin ydy$=$\dfrac {\pi }{3}\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2}-[-\cos y]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}$=$\dfrac {\sqrt {3}\pi }{6}+\dfrac {1}{2}-1$=$\dfrac {\sqrt {3}\pi }{6}-\dfrac {1}{2}$。