题目
题型说明：13. (10.0分) 求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极值
题型说明：
13. (10.0分)
求函数$f(x,y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$的极值
题目解答
答案
求一阶偏导数：
\[
f_x = 4 - 2x, \quad f_y = -4 - 2y
\]
令一阶偏导数为零求解驻点：
\[
\begin{cases}
4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2 \\
-4 - 2y = 0 \Rightarrow y = -2
\end{cases}
\]
驻点为 $ (2, -2) $。
求二阶偏导数：
\[
f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2
\]
判别式 $ D = AC - B^2 = (-2) \cdot (-2) - 0^2 = 4 > 0 $，且 $ A = -2 < 0 $，故为极大值。
计算极大值：
\[
f(2, -2) = 4(2 + 2) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 8 = 8
\]
**答案：**
极大值 $ f(2, -2) = 8 $，无极小值。
解析
步骤 1：求一阶偏导数
对函数 $f(x,y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$，分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，得到：
\[ f_x = 4 - 2x, \quad f_y = -4 - 2y \]
步骤 2：求驻点
令一阶偏导数为零，求解 $x$ 和 $y$ 的值，得到驻点：
\[ \begin{cases} 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2 \\ -4 - 2y = 0 \Rightarrow y = -2 \end{cases} \]
因此，驻点为 $(2, -2)$。
步骤 3：求二阶偏导数
对函数 $f(x,y)$ 求二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2 \]
步骤 4：判断极值类型
根据二阶偏导数，计算判别式 $D = AC - B^2$，其中 $A = f_{xx}$，$B = f_{xy}$，$C = f_{yy}$。代入得到：
\[ D = (-2) \cdot (-2) - 0^2 = 4 > 0 \]
由于 $D > 0$ 且 $A = -2 < 0$，根据二阶偏导数的判别法，驻点 $(2, -2)$ 是函数的极大值点。
步骤 5：计算极大值
将驻点 $(2, -2)$ 代入原函数 $f(x,y)$，计算极大值：
\[ f(2, -2) = 4(2 + 2) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 8 = 8 \]
对函数 $f(x,y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$，分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，得到：
\[ f_x = 4 - 2x, \quad f_y = -4 - 2y \]
步骤 2：求驻点
令一阶偏导数为零，求解 $x$ 和 $y$ 的值，得到驻点：
\[ \begin{cases} 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2 \\ -4 - 2y = 0 \Rightarrow y = -2 \end{cases} \]
因此，驻点为 $(2, -2)$。
步骤 3：求二阶偏导数
对函数 $f(x,y)$ 求二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2 \]
步骤 4：判断极值类型
根据二阶偏导数，计算判别式 $D = AC - B^2$，其中 $A = f_{xx}$，$B = f_{xy}$，$C = f_{yy}$。代入得到：
\[ D = (-2) \cdot (-2) - 0^2 = 4 > 0 \]
由于 $D > 0$ 且 $A = -2 < 0$，根据二阶偏导数的判别法，驻点 $(2, -2)$ 是函数的极大值点。
步骤 5：计算极大值
将驻点 $(2, -2)$ 代入原函数 $f(x,y)$，计算极大值：
\[ f(2, -2) = 4(2 + 2) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 8 = 8 \]