题目
某工厂生产两种产品甲与乙,出售单价分别为10元与9元,生产x单位的产品甲与y单位的产品乙总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元).求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少?
某工厂生产两种产品甲与乙,出售单价分别为10元与9元,生产x单位的产品甲与y单位的产品乙总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元).求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少?
题目解答
答案
正确答案:设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产x与y单位时所得的总利润,因为总利润等于总收入减去总费用,所以L(x,y)=(10x+9y)一[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)] =8x+6y一0.01(3x2+xy+3y2)一400,Lx(x,y)=8—0.01(6x+y)=0,Ly(x,y)=6—0.01(x+6y)=0,得驻点(120,80).因为A=Lxx=-0.06<0,B=Lxy=-0.01,C=Lyy=-0.06,所以B2一AC=(一0.01)2一(一0.06)2=-3.5×10-3<0,故x=120,y=80,L(120,80)=320是极大值.所以生产120单位产品甲与80单位产品乙所得利润最大.解析:解本题的关键是掌握二元函数的无条件极值,根据题意写出总利润函数L(x,y),然后利用求二元函数z=L(x,y)最值法求解即可.
解析
步骤 1：定义利润函数
设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产x与y单位时所得的总利润。根据题意，总利润等于总收入减去总费用，因此利润函数为：
\[ L(x,y) = (10x + 9y) - [400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2)] \]
\[ L(x,y) = 8x + 6y - 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) - 400 \]
步骤 2：求偏导数
为了找到利润函数的极值点，我们需要计算L(x,y)对x和y的偏导数，并令它们等于0。
\[ L_x(x,y) = 8 - 0.01(6x + y) = 0 \]
\[ L_y(x,y) = 6 - 0.01(x + 6y) = 0 \]
步骤 3：解方程组
解上述方程组，得到x和y的值。
\[ 8 - 0.06x - 0.01y = 0 \]
\[ 6 - 0.01x - 0.06y = 0 \]
解得：x = 120, y = 80
步骤 4：验证极值点
为了验证(x,y) = (120,80)是否为极大值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用Hessian矩阵的判别式。
\[ A = L_{xx} = -0.06 \]
\[ B = L_{xy} = -0.01 \]
\[ C = L_{yy} = -0.06 \]
\[ B^2 - AC = (-0.01)^2 - (-0.06)(-0.06) = -0.0035 < 0 \]
由于B^2 - AC < 0，且A < 0，所以(x,y) = (120,80)是极大值点。
设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产x与y单位时所得的总利润。根据题意，总利润等于总收入减去总费用，因此利润函数为：
\[ L(x,y) = (10x + 9y) - [400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2)] \]
\[ L(x,y) = 8x + 6y - 0.01(3x^2 + xy + 3y^2) - 400 \]
步骤 2：求偏导数
为了找到利润函数的极值点，我们需要计算L(x,y)对x和y的偏导数，并令它们等于0。
\[ L_x(x,y) = 8 - 0.01(6x + y) = 0 \]
\[ L_y(x,y) = 6 - 0.01(x + 6y) = 0 \]
步骤 3：解方程组
解上述方程组，得到x和y的值。
\[ 8 - 0.06x - 0.01y = 0 \]
\[ 6 - 0.01x - 0.06y = 0 \]
解得：x = 120, y = 80
步骤 4：验证极值点
为了验证(x,y) = (120,80)是否为极大值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用Hessian矩阵的判别式。
\[ A = L_{xx} = -0.06 \]
\[ B = L_{xy} = -0.01 \]
\[ C = L_{yy} = -0.06 \]
\[ B^2 - AC = (-0.01)^2 - (-0.06)(-0.06) = -0.0035 < 0 \]
由于B^2 - AC < 0，且A < 0，所以(x,y) = (120,80)是极大值点。